| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать равномерную сходимость НИЗОП http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28419 |
Страница 2 из 2 |
| Автор: | Human [ 03 дек 2013, 15:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП |
Pepel писал(а): Получается, что если интеграл можно вычислить, то он сходится равномерно?? Нет, получается, что Вы невнимательно читали мой предыдущий пост. Если интеграл можно явно посчитать, то для исследования на непрерывность необязательно исследовать интеграл на равномерную сходимость, это лишняя никому ненужная волокита. |
|
| Автор: | Human [ 03 дек 2013, 16:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП |
Pepel, такой Вам вопрос: пусть функция [math]F(\alpha)=\int\limits_a^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx[/math] непрерывна на некотором интервале. Верно ли, что интеграл [math]\int\limits_a^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx[/math] сходится равномерно на этом интервале? Просто, чтоб удостовериться, что Вы действительно понимаете теорему, которую тут привели. |
|
| Автор: | Pepel [ 03 дек 2013, 16:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП |
Неверно, я так понимаю. |
|
| Автор: | Human [ 03 дек 2013, 16:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП |
Pepel писал(а): Неверно, я так понимаю. Это хорошо. Причём это может быть неверно даже в случае, когда [math]f(\alpha,x)[/math] непрерывна в соответствующей области. "Исследовать на непрерывность функцию, заданную интегралом с параметром" означает ровно то, что и написано. Если эта функция выражается явно, то неважно, равномерно или неравномерно сходится интеграл - проще в любом случае исследовать полученную функцию, а не пытаться присобачить теорему с довольно узкой областью применения. Кроме того, если интеграл вдруг сходится неравномерно (что в Вашем случае и происходит), то эта теорема Вам никак не поможет, и все равно придется искать другие пути решения. |
|
| Автор: | Human [ 03 дек 2013, 17:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП |
Ну а преподавателю я могу пожелать только скорого излечения от временного помутнения разума. Если, конечно, все в точности так, как Вы и написали. |
|
| Автор: | Pepel [ 03 дек 2013, 17:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП |
Human, не могли бы ли Вы, как можно в более строгой форме показать, что исходный интеграл сходится неравномерно. Понял, что с этим у меня небольшие проблемы, буду подтягивать. И было бы неплохо, если бы Вы конкретно пояснили, где интеграл сходится равномерно(промежуток). |
|
| Автор: | Human [ 03 дек 2013, 17:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП |
В случае явно берущихся интегралов можно применять довольно простой и удобный критерий, который эквивалентен определению равномерной сходимости интегралов вида [math]\int\limits_{a}^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx[/math] на некотором множестве [math]E[/math]: интеграл сходится равномерно на [math]E[/math] тогда и только тогда, когда [math]\lim_{\eta\to+\infty}\sup_{\alpha\in E}\left|\int\limits_{\eta}^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx\right|=0[/math] В Вашем случае [math]\int\limits_{\eta}^{+\infty}\alpha e^{-\alpha^2 x}\,dx=\left\{\begin{aligned}\frac{e^{-\alpha^2\eta}}{\alpha},\ \alpha\ne0\\0,\ \alpha=0\end{aligned}\right.[/math] Если [math]E=\mathbb{R}\setminus\{0\}[/math], то при [math]\alpha\to0+[/math] это выражение при каждом фиксированном [math]\eta>1[/math] стремится к [math]+\infty[/math], поэтому [math]\sup_{\alpha\in E}\left|\int\limits_{\eta}^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx\right|=+\infty[/math] ну а, тем более, и предел по [math]\eta[/math] бесконечный. Значит равномерной сходимости нет. Рассмотрим теперь [math]E=\mathbb{R}\setminus(-c;d)[/math], где [math]c>0,d>0[/math]. Пусть [math]z=min\{c,d\}[/math]. Тогда [math]\sup_{\alpha\in E}\left|\int\limits_{\eta}^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx\right|=\frac{e^{-z^2\eta}}{|z|}[/math] и значит [math]\lim_{\eta\to+\infty}\sup_{\alpha\in E}\left|\int\limits_{\eta}^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx\right|=0[/math] Отсюда следует равномерная сходимость на любом промежутке, не содержащем окрестности нуля. Отсюда, в частности, следует и непрерывность интеграла на [math]\mathbb{R}\setminus\{0\}[/math] по указанной Вами теореме. Однако поведение в нуле по этой теореме установить нельзя. И ещё замечание: равномерная сходимость не сохраняется, вообще говоря, при замене переменной, содержащей параметр. То есть интегралы до такой замены и после нужно исследовать на равномерную сходимость отдельно друг от друга. |
|
| Страница 2 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|