Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать равномерную сходимость НИЗОП
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28419
Страница 1 из 2

Автор:  Pepel [ 02 дек 2013, 00:36 ]
Заголовок сообщения:  Доказать равномерную сходимость НИЗОП

Пробовал доказывать по кр. Коши, Вейерштрасса, но всегда попадал в тупик. Если на промежутке [1,+inf) все понятно, то на [0,1] всё очень плохо. Помогите, пожалуйста, разобраться!Изображение

Автор:  Avgust [ 02 дек 2013, 03:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП

В знаменателе что у Вас?

Автор:  Pepel [ 02 дек 2013, 09:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП

В знаменателе параметр альфа, принадлежащий промежутку (-inf;inf).

Автор:  Human [ 03 дек 2013, 12:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП

Вам надо на всём [math]\mathbb{R}[/math] исследовать? Тогда, естественно, равномерной сходимости нет. Хотя бы потому, что при [math]\alpha=0[/math] интеграл не определён.

Автор:  Pepel [ 03 дек 2013, 13:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП

Тогда, видимо, надо доказать равномерную сходимость для любой альфа из R, исключая точку 0.

Автор:  Human [ 03 дек 2013, 14:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП

И в этом случае её нет:

[math]\lim_{\eta\to+\infty}\sup_{\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\}}\left|\int\limits_{\eta}^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\alpha}\,dt\right|=\lim_{\eta\to+\infty}\sup_{\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\}}\frac{e^{-\eta}}{|\alpha|}=+\infty[/math]

Автор:  Human [ 03 дек 2013, 14:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП

Равномерная сходимость будет лишь на промежутке, не содержащем какой-нибудь окрестности точки 0.

Автор:  Pepel [ 03 дек 2013, 14:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП

Оглашу задание полностью.
Исследовать на непрерывность в указанном промежутке функцию (№3783 из Демидовича):
F(a)=(интеграл от 0 до +inf) (a*e^(-xa^2))dx; -inf<a<+inf
Делаем замену t=xa^2, получаем интеграл (e^(-t)/a)dt (обозначим I) c теми же пределами интегрирования. Вычисляем его, получаем 1/a => функция F(a) непрерывна при любом альфа не равном 0. Но чтобы это было так, нам надо доказать равномерную сходимость интеграла I. Преподаватель настаивает, что I равномерно сходится и требует доказать.

Автор:  Human [ 03 дек 2013, 15:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП

Pepel писал(а):
Оглашу задание полностью.


Это нужно было сделать с самого начала, чтобы не вводить в заблуждение. Какой вопрос задали - на такой и ответили.

Pepel писал(а):
Но чтобы это было так, нам надо доказать равномерную сходимость интеграла I


Зачем? Вы же в явном виде нашли функцию [math]F(\alpha)[/math]. Она равна нулю в нуле и [math]\frac1{\alpha}[/math] в остальных точках. Её и нужно исследовать на непрерывность.

Pepel писал(а):
Преподаватель настаивает, что I равномерно сходится и требует доказать.


Так объясните ему, что это неверно и что это не нужно для ответа на вопрос задачи.

Автор:  Pepel [ 03 дек 2013, 15:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП

Есть теорема, в которой утверждается, что F(a) непрерывна на [c,d], если (интеграл f(x,a)dx)=F(a) (пределы интегр. m и w) cходится равномерно, а f(x,a) непрерывна на множестве [m,w)x[c,d].
Получается, что если интеграл можно вычислить, то он сходится равномерно?? Теорема же требует равномерной сходимости интеграла.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/