Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП
СообщениеДобавлено: 03 дек 2013, 15:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pepel писал(а):
Получается, что если интеграл можно вычислить, то он сходится равномерно??


Нет, получается, что Вы невнимательно читали мой предыдущий пост. Если интеграл можно явно посчитать, то для исследования на непрерывность необязательно исследовать интеграл на равномерную сходимость, это лишняя никому ненужная волокита.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП
СообщениеДобавлено: 03 дек 2013, 16:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pepel, такой Вам вопрос: пусть функция [math]F(\alpha)=\int\limits_a^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx[/math] непрерывна на некотором интервале. Верно ли, что интеграл [math]\int\limits_a^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx[/math] сходится равномерно на этом интервале?

Просто, чтоб удостовериться, что Вы действительно понимаете теорему, которую тут привели.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП
СообщениеДобавлено: 03 дек 2013, 16:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 ноя 2013, 17:34
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Неверно, я так понимаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП
СообщениеДобавлено: 03 дек 2013, 16:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pepel писал(а):
Неверно, я так понимаю.


Это хорошо. Причём это может быть неверно даже в случае, когда [math]f(\alpha,x)[/math] непрерывна в соответствующей области.

"Исследовать на непрерывность функцию, заданную интегралом с параметром" означает ровно то, что и написано. Если эта функция выражается явно, то неважно, равномерно или неравномерно сходится интеграл - проще в любом случае исследовать полученную функцию, а не пытаться присобачить теорему с довольно узкой областью применения. Кроме того, если интеграл вдруг сходится неравномерно (что в Вашем случае и происходит), то эта теорема Вам никак не поможет, и все равно придется искать другие пути решения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Pepel
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП
СообщениеДобавлено: 03 дек 2013, 17:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну а преподавателю я могу пожелать только скорого излечения от временного помутнения разума. Если, конечно, все в точности так, как Вы и написали.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП
СообщениеДобавлено: 03 дек 2013, 17:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 ноя 2013, 17:34
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human, не могли бы ли Вы, как можно в более строгой форме показать, что исходный интеграл сходится неравномерно. Понял, что с этим у меня небольшие проблемы, буду подтягивать. И было бы неплохо, если бы Вы конкретно пояснили, где интеграл сходится равномерно(промежуток).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равномерную сходимость НИЗОП
СообщениеДобавлено: 03 дек 2013, 17:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В случае явно берущихся интегралов можно применять довольно простой и удобный критерий, который эквивалентен определению равномерной сходимости интегралов вида [math]\int\limits_{a}^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx[/math] на некотором множестве [math]E[/math]: интеграл сходится равномерно на [math]E[/math] тогда и только тогда, когда

[math]\lim_{\eta\to+\infty}\sup_{\alpha\in E}\left|\int\limits_{\eta}^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx\right|=0[/math]

В Вашем случае

[math]\int\limits_{\eta}^{+\infty}\alpha e^{-\alpha^2 x}\,dx=\left\{\begin{aligned}\frac{e^{-\alpha^2\eta}}{\alpha},\ \alpha\ne0\\0,\ \alpha=0\end{aligned}\right.[/math]

Если [math]E=\mathbb{R}\setminus\{0\}[/math], то при [math]\alpha\to0+[/math] это выражение при каждом фиксированном [math]\eta>1[/math] стремится к [math]+\infty[/math], поэтому

[math]\sup_{\alpha\in E}\left|\int\limits_{\eta}^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx\right|=+\infty[/math]

ну а, тем более, и предел по [math]\eta[/math] бесконечный. Значит равномерной сходимости нет.

Рассмотрим теперь [math]E=\mathbb{R}\setminus(-c;d)[/math], где [math]c>0,d>0[/math]. Пусть [math]z=min\{c,d\}[/math]. Тогда

[math]\sup_{\alpha\in E}\left|\int\limits_{\eta}^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx\right|=\frac{e^{-z^2\eta}}{|z|}[/math]

и значит

[math]\lim_{\eta\to+\infty}\sup_{\alpha\in E}\left|\int\limits_{\eta}^{+\infty}f(\alpha,x)\,dx\right|=0[/math]

Отсюда следует равномерная сходимость на любом промежутке, не содержащем окрестности нуля. Отсюда, в частности, следует и непрерывность интеграла на [math]\mathbb{R}\setminus\{0\}[/math] по указанной Вами теореме. Однако поведение в нуле по этой теореме установить нельзя.

И ещё замечание: равномерная сходимость не сохраняется, вообще говоря, при замене переменной, содержащей параметр. То есть интегралы до такой замены и после нужно исследовать на равномерную сходимость отдельно друг от друга.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Pepel
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2  Страница 2 из 2 [ Сообщений: 17 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать равномерную сходимость

в форуме Ряды

351w

1

445

09 дек 2018, 12:43

Доказать равномерную сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

oneinchman

7

965

16 фев 2015, 14:04

Доказать равномерную сходимость признаком Вейерштрасса

в форуме Ряды

LevMarc

4

742

20 дек 2021, 14:34

Доказать равномерную сходимость несобственного интеграла, за

в форуме Интегральное исчисление

y2kisback

2

278

14 май 2017, 08:56

Доказать равномерную сходимость функциональных рядов

в форуме Ряды

Xterylis

3

408

21 апр 2021, 21:24

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость послед

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

STARKENNY

1

750

27 дек 2015, 11:45

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ArinaGross

0

240

21 дек 2018, 12:19

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд

в форуме Объявления участников Форума

neotouch

5

448

08 дек 2022, 15:35

Исследовать ряд на равномерную сходимость

в форуме Ряды

Dirolina

10

1544

16 июн 2015, 17:37

Исследовать ряд на равномерную сходимость

в форуме Ряды

soverway

9

391

17 ноя 2019, 20:40


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved