Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=28128
Страница 3 из 4

Автор:  lady111 [ 29 ноя 2013, 12:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

Andy писал(а):
lady111
Придётся довести до конца самой. Вы ведь изучали определённые интегралы и сдали экзамен... :)


Странно как то ,говорите помогаете, а сами бросили на пол пути) :(

Автор:  Andy [ 29 ноя 2013, 12:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

Для erjoma
erjoma писал(а):
lady111
При выводе уранения в полярных координатах "потерялся" модуль (корень из квадрата числа равен модулю этого числа).

По условию задачи [math]a>0.[/math] Или Вы имеете в виду другое число?

Автор:  erjoma [ 29 ноя 2013, 12:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

Я имею в виду
[math]\begin{gathered} {r^2} = {a^2}{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi \hfill \\ r = a\left| {\cos \varphi \sin \varphi } \right| \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Andy [ 29 ноя 2013, 12:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

Для lady111
lady111 писал(а):
Andy писал(а):
lady111
Придётся довести до конца самой. Вы ведь изучали определённые интегралы и сдали экзамен... :)


Странно как то ,говорите помогаете, а сами бросили на пол пути) :(

ПОМОЧЬ РЕШИТЬ и РЕШИТЬ - разные вещи. Кстати, дипломом о высшем образовании Вы со мной поделитесь?

Автор:  Andy [ 29 ноя 2013, 12:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

Для erjoma
erjoma писал(а):
Я имею в виду
[math]\begin{gathered} {r^2} = {a^2}{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi \hfill \\ r = a\left| {\cos \varphi \sin \varphi } \right| \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Про количество лепестков розы я хотел рассказать автору вопроса после того, как она найдёт площадь одного лепестка. Но, видать, даже это она сделать сама не может. Да ещё и обижается...

Если уж Вы вмешались в решение, то попробуйте продолжить с ней сами.

Автор:  erjoma [ 29 ноя 2013, 12:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

Площадь одного лепестка: [math]\begin{gathered} {S_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^{\frac{a}{2}\sin 2\varphi } {rdr} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left. {\frac{{{r^2}}}{2}} \right|} _0^{\frac{a}{2}\sin 2\varphi }d\varphi = \frac{{{a^2}}}{8}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}2\varphi d\varphi } = \frac{{{a^2}}}{{16}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos 4\varphi + 1} \right)d\varphi } = \hfill \\ = \frac{{{a^2}}}{{16}}\left. {\left( {\frac{{\sin 4\varphi }}{4} + \varphi } \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{\pi {a^2}}}{{32}} \hfill \\\end{gathered}[/math]
Площадь всей розы: [math]S = 4{S_1} = \frac{{\pi {a^2}}}{8}[/math]

Автор:  lady111 [ 29 ноя 2013, 13:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

erjoma писал(а):
Площадь одного лепестка: [math]\begin{gathered} {S_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^{\frac{a}{2}\sin 2\varphi } {rdr} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left. {\frac{{{r^2}}}{2}} \right|} _0^{\frac{a}{2}\sin 2\varphi }d\varphi = \frac{{{a^2}}}{8}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}2\varphi d\varphi } = \frac{{{a^2}}}{{16}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos 4\varphi + 1} \right)d\varphi } = \hfill \\ = \frac{{{a^2}}}{{16}}\left. {\left( {\frac{{\sin 4\varphi }}{4} + \varphi } \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{\pi {a^2}}}{{32}} \hfill \\\end{gathered}[/math]
Площадь всей розы: [math]S = 4{S_1} = \frac{{\pi {a^2}}}{8}[/math]


Спасибо за помощь)
можете объяснить как получили [math]\cos{4 \varphi}+1[/math]

Автор:  Andy [ 29 ноя 2013, 14:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

lady111
А это Вам для наглядности: http://www.pm298.ru/spec8.php

Автор:  erjoma [ 29 ноя 2013, 14:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

Я допустил ошибку, хотя ответ тот же.
[math]\begin{gathered} \cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 1 - 2{\sin ^2}x \hfill \\ {\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  mad_math [ 29 ноя 2013, 14:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

А график кривой в полярных координатах вы построили?

Страница 3 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/