Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить тройной интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=27794
Страница 1 из 1

Автор:  Alexia [ 13 ноя 2013, 22:09 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить тройной интеграл

Помогите, пожалуйста
Изображение

Рисунок нарисовала, пересечение шара и конической поверхности. Перейти к цилиндрическим координатам не получается, а в сферических координатах пси изменяется от 0 до Пи/4, а фи от -Пи/4 до Пи/4 или же от 0 до 2Пи? В итоге, с ответом никак не сходится...

Заранее спасибо!

Автор:  Alexander N [ 14 ноя 2013, 15:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить тройной интеграл

Вводим цилиндрическую систему координат [math]y=r cos(\varphi); z=r sin(\varphi); x=x;[/math]

[math]x \geqslant 0; => r^2+x^2=R^2; x^2 \geqslant r^2; => x \geqslant r;[/math]
Раходим пересечение сферы с поверхностью [math]x=r; => x=\frac{R}{\sqrt{2}};[/math] Тогда получаем формулу для вычисления тройного интеграла

[math]\iiint_D (x^2+y^2+z^2)dxdydz=\int_0^{2 \pi} d \varphi \int_0^{\frac{R}{\sqrt{2}}} rdr \int_r^{\sqrt{R^2-r^2}} dx(r^2+x^2)=2 \pi \int_0^{\frac{R}{\sqrt{2}}} rdr[\sqrt{R^2-r^2}(r^2+\frac{R^2-r^2}{3})-r^3-\frac{r^3}{3}]=[/math]

[math]2 \pi [0,5(-(R^2-r^2)^{1,5}\frac{2}{9}(R^2+2r^2)-\frac{8}{45}(R^2-r^2)^{2,5})-\frac{4r^5}{15}]_0^{\frac{R}{\sqrt{2}}}=[/math]

[math]2\pi [\frac{1}{9}(-\frac{R^3}{2\sqrt{2}}2R^2+R^5)-\frac{8}{45}(\frac{R^5}{4\sqrt{2}}-R^5)-\frac{4}{15}\frac{R^5}{4\sqrt{2}}}]=2\pi R^5 [\frac{1}{9}(1-\frac{\sqrt{2}}{2}})+\frac{8-\sqrt{2}}{45}-\frac{\sqrt{2}}{30}]=\frac{2 \pi R^5}{9}(2,6-\sqrt{2})[/math]

Автор:  Alexia [ 14 ноя 2013, 20:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить тройной интеграл

Большое спасибо!!!
В самом главном - начале - разобралась, осталось правильно проинтегрировать и упростить, чтобы получить верный ответ (ПиR^5(3 - sqrt(2)/5), получила ПиR^5(2 - sqrt(2)/5, теперь ищу ошибку

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/