Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить объем тела с помощью двойного интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=27790
Страница 1 из 1

Автор:  racoon [ 13 ноя 2013, 21:38 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить объем тела с помощью двойного интеграла

Помогите пожалуйста решить.
Найти объем тела
Изображение
если не ошибаюсь, то первое неравенство это сфера, второе - параболоид
но все же рисунок получается странный и проблемы с пределами интегрирования

Заранее спасибо)

Автор:  Alexdemath [ 14 ноя 2013, 00:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела с помощью двойного интеграла

Найдём проекцию тела на плоскость [math]Oxy[/math]

[math]\begin{cases}x^2+y^2+z^2 = 3a^2,\\ x^2+y^2 = 2az\end{cases} \Rightarrow~2az+z^2 = 3a^2~\Rightarrow~z^2+2az+a^2 = 4a^2~ \Rightarrow~ (z+a)^2 = 4a^2~ \Rightarrow~ z = a[/math]

Следовательно, проекцией тела является круг [math]x^2+y^2 \leqslant 2a^2[/math] с радиусом [math]a\sqrt{2}[/math] и центром в начале координат.

[math]\begin{aligned}V&= \iint\limits_{x^2+y^2 \leqslant 2a^2}\! \left(\sqrt{3a^2-x^2-y^2}-\frac{x^2+y^2}{2a}\right)\!dxdy= \left\{\begin{aligned}x&=r\cos\varphi,\\ y&=r\sin\varphi\end{aligned}\right\}=\\ &=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}\! \left(\sqrt{3a^2-r^2}-\frac{r^2}{2a}\right)\!r\,dr=\ldots= 2\pi\! \left(\sqrt{3}-\frac{5}{6}\right)\!a^3\end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/