| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить объем тела с помощью двойного интеграла http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=27790 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | racoon [ 13 ноя 2013, 21:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить объем тела с помощью двойного интеграла |
Помогите пожалуйста решить. Найти объем тела если не ошибаюсь, то первое неравенство это сфера, второе - параболоид но все же рисунок получается странный и проблемы с пределами интегрирования Заранее спасибо) |
|
| Автор: | Alexdemath [ 14 ноя 2013, 00:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела с помощью двойного интеграла |
Найдём проекцию тела на плоскость [math]Oxy[/math] [math]\begin{cases}x^2+y^2+z^2 = 3a^2,\\ x^2+y^2 = 2az\end{cases} \Rightarrow~2az+z^2 = 3a^2~\Rightarrow~z^2+2az+a^2 = 4a^2~ \Rightarrow~ (z+a)^2 = 4a^2~ \Rightarrow~ z = a[/math] Следовательно, проекцией тела является круг [math]x^2+y^2 \leqslant 2a^2[/math] с радиусом [math]a\sqrt{2}[/math] и центром в начале координат. [math]\begin{aligned}V&= \iint\limits_{x^2+y^2 \leqslant 2a^2}\! \left(\sqrt{3a^2-x^2-y^2}-\frac{x^2+y^2}{2a}\right)\!dxdy= \left\{\begin{aligned}x&=r\cos\varphi,\\ y&=r\sin\varphi\end{aligned}\right\}=\\ &=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}\! \left(\sqrt{3a^2-r^2}-\frac{r^2}{2a}\right)\!r\,dr=\ldots= 2\pi\! \left(\sqrt{3}-\frac{5}{6}\right)\!a^3\end{aligned}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|