Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Объем тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=27752
Страница 1 из 1

Автор:  Wersel [ 12 ноя 2013, 10:58 ]
Заголовок сообщения:  Объем тела

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Возникли сложности с такой задачкой:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями [math]y^2+z^2=8x[/math], [math]x=6[/math], [math]y^2=2x[/math] (вне цилиндра).

А где здесь цилиндр? Или [math]y^2=2x[/math] подразумевают под цилиндром?

Рисунок получился вот такой:
Изображение


Рисунок только для [math]z \geqslant 0[/math], так как снизу будет то же самое.

[math]y^2+z^2=8x \Rightarrow z = \pm \sqrt{8x-y^2}[/math]

Тело состоит из четырех одинаковых частей. Будем вычислять объем одной части.

По [math]z[/math] эта одна часть ограничена [math]0 \leqslant z \leqslant \sqrt{8x-y^2}[/math]

В декартовых координатах: [math]V = \int\limits_{0}^{6} dx \int\limits_{\sqrt{2x}}^{2 \sqrt{2x}} dy \int\limits_{0}^{\sqrt{8x-y^2}} dz[/math]

Вроде как надо переходить в цилиндрическую СК. Но чтобы вот это уравнение [math]y^2+z^2=8x[/math] стало проще надо заменить [math]y[/math] и [math]z[/math] (чтобы потом использовать основное тригонометрическое тождество), но во всех просмотренных примерах, заменяют [math]x[/math] и [math]y[/math] (так как там [math]ax^2+ay^2=bz[/math])...

Подскажите, пожалуйста, как быть в данном случае?

Автор:  vvvv [ 12 ноя 2013, 21:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

Здесь удобно внутренний интеграл брать по у, иначе область интегрирования нужно разбивать на два участка.
См.Картинку.
Изображение

Автор:  mad_math [ 12 ноя 2013, 21:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

Wersel писал(а):
А где здесь цилиндр? Или [math]y^2=2x[/math] подразумевают под цилиндром?
Да. Это параболический цилиндр.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/