| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=27709 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Alexander N [ 11 ноя 2013, 12:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн |
Окружность [math]x^2+(y-1)^2=1[/math] целиком лежит внутри большей окружности [math]x^2+(y-3)^2=9[/math] Уравнение окружности [math]x^2+(y-1)^2=1[/math] в ПСК имееет вид [math]x=rcos(\varphi); y=rsin(\varphi); r=\sqrt{x^2+y^2}; r^2+2rsin(\varphi)+1=1;=> r=2sin(\varphi);[/math] [math]\int_0^{2\pi}d \varphi \int_0^{2sin(\varphi)}r^8 r dr=\int_0^{2\pi}d \varphi \frac{[2sin(\varphi)]^{10}}{10}=(-1)^5 \int_0^{2\pi}d \varphi \frac{(e^{i \varphi}-e^{-i \varphi})^{10}}{10}=(-1)^5 \int_0^{2\pi}d \varphi \frac{ \sum_{k=0;}^{10} e^{i \varphi (2k-10)}C_{10}^k (-1)^k }{10}=[/math] [math]2 \pi C_{10}^5=2 \pi \frac{10!}{5!5!10}=2 \pi \frac{6*7*8*9*10}{5*4*3*2*10}= \pi \frac{7*8*9}{10}= 50,4 \pi[/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 11 ноя 2013, 13:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн |
Область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно оси [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому достаточно вычислить интеграл [math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{2\sin{\varphi}}^{6\sin{\varphi}}r^8\cdot r\,dr[/math] и результат умножить на 2. |
|
| Автор: | Alexander N [ 11 ноя 2013, 13:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн |
mad_math писал(а): Область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно оси [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому достаточно вычислить интеграл [math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{2\sin{\varphi}}^{6\sin{\varphi}}r^8\cdot r\,dr[/math] и результат умножить на 2. 1). То-есть я неправильно определил область как внутренность меньшей окружности, а нужно вычесть из большей окружности меньшую в соответствии с вашей подстановкой пределов для радиуса r. 2). Насчет пределов по углу тоже прокол - нужно смотреть измениение угла фи от нуля до пи, поскольку при фи больше пи мы просто проходим по контуру во второй раз. Вывод: хотя решение и содержит две существенных ошибки, но может быть использовано в качестве рыбы для получения правильного, что и можно рекомендовать топикстартеру в качестве самостоятельного упражнения для получения нужного ответа. |
|
| Автор: | mad_math [ 11 ноя 2013, 14:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн |
Alexander N писал(а): То-есть я неправильно определил область как внутренность меньшей окружности Да. Областью будет часть большей окружности с вырезанной меньшей.Alexander N писал(а): Насчет пределов по углу тоже прокол - нужно смотреть измениение угла фи от нуля до пи, поскольку при фи больше пи мы просто проходим по контуру во второй раз. Да. И, как я уже написала, достаточно интегрировать по половине области.
|
|
| Автор: | Denis93 [ 11 ноя 2013, 22:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн |
mad_math писал(а): Область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно оси [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому достаточно вычислить интеграл [math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{2\sin{\varphi}}^{6\sin{\varphi}}r^8\cdot r\,dr[/math] и результат умножить на 2. на скорую руку накидал в онлайн калькуляторе. похожее что-то? |
|
| Автор: | mad_math [ 11 ноя 2013, 22:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн |
Мне онлайн-калькулятор выдал это:
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|