Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=27709
Страница 1 из 1

Автор:  Denis93 [ 10 ноя 2013, 22:36 ]
Заголовок сообщения:  Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн

Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойной интеграл:

Вложения:
.jpg
.jpg [ 19.74 Кб | Просмотров: 80 ]

Автор:  Alexander N [ 11 ноя 2013, 12:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн

Окружность [math]x^2+(y-1)^2=1[/math] целиком лежит внутри большей окружности [math]x^2+(y-3)^2=9[/math]

Уравнение окружности [math]x^2+(y-1)^2=1[/math] в ПСК имееет вид [math]x=rcos(\varphi); y=rsin(\varphi); r=\sqrt{x^2+y^2}; r^2+2rsin(\varphi)+1=1;=> r=2sin(\varphi);[/math]

[math]\int_0^{2\pi}d \varphi \int_0^{2sin(\varphi)}r^8 r dr=\int_0^{2\pi}d \varphi \frac{[2sin(\varphi)]^{10}}{10}=(-1)^5 \int_0^{2\pi}d \varphi \frac{(e^{i \varphi}-e^{-i \varphi})^{10}}{10}=(-1)^5 \int_0^{2\pi}d \varphi \frac{ \sum_{k=0;}^{10} e^{i \varphi (2k-10)}C_{10}^k (-1)^k }{10}=[/math]

[math]2 \pi C_{10}^5=2 \pi \frac{10!}{5!5!10}=2 \pi \frac{6*7*8*9*10}{5*4*3*2*10}= \pi \frac{7*8*9}{10}= 50,4 \pi[/math]

Автор:  mad_math [ 11 ноя 2013, 13:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн

Область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно оси [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому достаточно вычислить интеграл
[math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{2\sin{\varphi}}^{6\sin{\varphi}}r^8\cdot r\,dr[/math] и результат умножить на 2.

Автор:  Alexander N [ 11 ноя 2013, 13:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн

mad_math писал(а):
Область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно оси [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому достаточно вычислить интеграл
[math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{2\sin{\varphi}}^{6\sin{\varphi}}r^8\cdot r\,dr[/math] и результат умножить на 2.

1). То-есть я неправильно определил область как внутренность меньшей окружности, а нужно вычесть из большей окружности меньшую в соответствии с вашей подстановкой пределов для радиуса r.
2). Насчет пределов по углу тоже прокол - нужно смотреть измениение угла фи от нуля до пи, поскольку при фи больше пи мы просто проходим по контуру во второй раз.
Вывод: хотя решение и содержит две существенных ошибки, но может быть использовано в качестве рыбы для получения правильного, что и можно рекомендовать топикстартеру в качестве самостоятельного упражнения для получения нужного ответа.

Автор:  mad_math [ 11 ноя 2013, 14:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн

Alexander N писал(а):
То-есть я неправильно определил область как внутренность меньшей окружности
Да. Областью будет часть большей окружности с вырезанной меньшей.

Alexander N писал(а):
Насчет пределов по углу тоже прокол - нужно смотреть измениение угла фи от нуля до пи, поскольку при фи больше пи мы просто проходим по контуру во второй раз.
Да. И, как я уже написала, достаточно интегрировать по половине области.

Автор:  Denis93 [ 11 ноя 2013, 22:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн

mad_math писал(а):
Область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно оси [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому достаточно вычислить интеграл
[math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{2\sin{\varphi}}^{6\sin{\varphi}}r^8\cdot r\,dr[/math] и результат умножить на 2.


на скорую руку накидал в онлайн калькуляторе. похожее что-то?
Изображение

Автор:  mad_math [ 11 ноя 2013, 22:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн

Мне онлайн-калькулятор выдал это:
Изображение

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/