Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Denis93 |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| Alexander N |
|
|
|
Окружность [math]x^2+(y-1)^2=1[/math] целиком лежит внутри большей окружности [math]x^2+(y-3)^2=9[/math]
Уравнение окружности [math]x^2+(y-1)^2=1[/math] в ПСК имееет вид [math]x=rcos(\varphi); y=rsin(\varphi); r=\sqrt{x^2+y^2}; r^2+2rsin(\varphi)+1=1;=> r=2sin(\varphi);[/math] [math]\int_0^{2\pi}d \varphi \int_0^{2sin(\varphi)}r^8 r dr=\int_0^{2\pi}d \varphi \frac{[2sin(\varphi)]^{10}}{10}=(-1)^5 \int_0^{2\pi}d \varphi \frac{(e^{i \varphi}-e^{-i \varphi})^{10}}{10}=(-1)^5 \int_0^{2\pi}d \varphi \frac{ \sum_{k=0;}^{10} e^{i \varphi (2k-10)}C_{10}^k (-1)^k }{10}=[/math] [math]2 \pi C_{10}^5=2 \pi \frac{10!}{5!5!10}=2 \pi \frac{6*7*8*9*10}{5*4*3*2*10}= \pi \frac{7*8*9}{10}= 50,4 \pi[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно оси [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому достаточно вычислить интеграл
[math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{2\sin{\varphi}}^{6\sin{\varphi}}r^8\cdot r\,dr[/math] и результат умножить на 2. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexander N |
|
|
|
mad_math писал(а): Область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно оси [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому достаточно вычислить интеграл [math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{2\sin{\varphi}}^{6\sin{\varphi}}r^8\cdot r\,dr[/math] и результат умножить на 2. 1). То-есть я неправильно определил область как внутренность меньшей окружности, а нужно вычесть из большей окружности меньшую в соответствии с вашей подстановкой пределов для радиуса r. 2). Насчет пределов по углу тоже прокол - нужно смотреть измениение угла фи от нуля до пи, поскольку при фи больше пи мы просто проходим по контуру во второй раз. Вывод: хотя решение и содержит две существенных ошибки, но может быть использовано в качестве рыбы для получения правильного, что и можно рекомендовать топикстартеру в качестве самостоятельного упражнения для получения нужного ответа. |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Alexander N писал(а): То-есть я неправильно определил область как внутренность меньшей окружности Да. Областью будет часть большей окружности с вырезанной меньшей.Alexander N писал(а): Насчет пределов по углу тоже прокол - нужно смотреть измениение угла фи от нуля до пи, поскольку при фи больше пи мы просто проходим по контуру во второй раз. Да. И, как я уже написала, достаточно интегрировать по половине области. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Denis93 |
|
|
|
mad_math писал(а): Область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно оси [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому достаточно вычислить интеграл [math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{2\sin{\varphi}}^{6\sin{\varphi}}r^8\cdot r\,dr[/math] и результат умножить на 2. на скорую руку накидал в онлайн калькуляторе. похожее что-то? |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Мне онлайн-калькулятор выдал это:
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 7 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |