Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача на Гамма-функцию
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=27449
Страница 1 из 1

Автор:  Donkey Hot [ 02 ноя 2013, 11:52 ]
Заголовок сообщения:  Задача на Гамма-функцию

Доказать, что при а>0 определяющий гамма-функцию Г(а) интеграл Эйлера Г(а)=\int\limits_{0}^{ \infty } x^(a-1)*e^(-x)dx

сходится и установить следующие соотношения:

a) если a=n - целое число, то Г(n+1)=n!

б) Г(а+1)=аГ(а) для любого а>0

в) Г(1/2)=п^1/2

г) Г(3/2)=п^(1/2)/2

д) Г(n+1/2)=1*3*5...(2n-1)*п^(1/2)/2^n, n - целое

Автор:  Prokop [ 02 ноя 2013, 20:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на Гамма-функцию

б) Пусть [math]a > 0[/math]. Тогда
[math]\begin{gathered}0 \hfill \\ \Gamma \left({a + 1}\right) = \int\limits_0^\infty{{x^a}{e^{- x}}dx}= \left.{-{e^{- x}}{x^a}}\right|_0^\infty +a\int\limits_0^\infty{{x^{a - 1}}{e^{- x}}dx}= a\Gamma \left( a \right) \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Отсюда по индукции следует а)
в)[math]\Gamma \left({\frac{1}{2}}\right) = \int\limits_0^\infty{\frac{{{e^{- x}}}}{{\sqrt x}}dx}= 2\int\limits_0^\infty{{e^{- x}}d\sqrt x}= 2\int\limits_0^\infty{{e^{-{t^2}}}dt}= \int\limits_{- \infty}^\infty{{e^{-{t^2}}}dt}= \sqrt \pi[/math]
Отсюда и б) следует г)
Если использовать индукцию, то получим д)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/