| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Задача на Гамма-функцию http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=27449 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Donkey Hot [ 02 ноя 2013, 11:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Задача на Гамма-функцию |
Доказать, что при а>0 определяющий гамма-функцию Г(а) интеграл Эйлера Г(а)=\int\limits_{0}^{ \infty } x^(a-1)*e^(-x)dx сходится и установить следующие соотношения: a) если a=n - целое число, то Г(n+1)=n! б) Г(а+1)=аГ(а) для любого а>0 в) Г(1/2)=п^1/2 г) Г(3/2)=п^(1/2)/2 д) Г(n+1/2)=1*3*5...(2n-1)*п^(1/2)/2^n, n - целое |
|
| Автор: | Prokop [ 02 ноя 2013, 20:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на Гамма-функцию |
б) Пусть [math]a > 0[/math]. Тогда [math]\begin{gathered}0 \hfill \\ \Gamma \left({a + 1}\right) = \int\limits_0^\infty{{x^a}{e^{- x}}dx}= \left.{-{e^{- x}}{x^a}}\right|_0^\infty +a\int\limits_0^\infty{{x^{a - 1}}{e^{- x}}dx}= a\Gamma \left( a \right) \hfill \\ \end{gathered}[/math] Отсюда по индукции следует а) в)[math]\Gamma \left({\frac{1}{2}}\right) = \int\limits_0^\infty{\frac{{{e^{- x}}}}{{\sqrt x}}dx}= 2\int\limits_0^\infty{{e^{- x}}d\sqrt x}= 2\int\limits_0^\infty{{e^{-{t^2}}}dt}= \int\limits_{- \infty}^\infty{{e^{-{t^2}}}dt}= \sqrt \pi[/math] Отсюда и б) следует г) Если использовать индукцию, то получим д) |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|