Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача на Гамма-функцию
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2013, 11:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 ноя 2013, 11:48
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказать, что при а>0 определяющий гамма-функцию Г(а) интеграл Эйлера Г(а)=\int\limits_{0}^{ \infty } x^(a-1)*e^(-x)dx

сходится и установить следующие соотношения:

a) если a=n - целое число, то Г(n+1)=n!

б) Г(а+1)=аГ(а) для любого а>0

в) Г(1/2)=п^1/2

г) Г(3/2)=п^(1/2)/2

д) Г(n+1/2)=1*3*5...(2n-1)*п^(1/2)/2^n, n - целое

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на Гамма-функцию
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2013, 20:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
б) Пусть [math]a > 0[/math]. Тогда
[math]\begin{gathered}0 \hfill \\ \Gamma \left({a + 1}\right) = \int\limits_0^\infty{{x^a}{e^{- x}}dx}= \left.{-{e^{- x}}{x^a}}\right|_0^\infty +a\int\limits_0^\infty{{x^{a - 1}}{e^{- x}}dx}= a\Gamma \left( a \right) \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Отсюда по индукции следует а)
в)[math]\Gamma \left({\frac{1}{2}}\right) = \int\limits_0^\infty{\frac{{{e^{- x}}}}{{\sqrt x}}dx}= 2\int\limits_0^\infty{{e^{- x}}d\sqrt x}= 2\int\limits_0^\infty{{e^{-{t^2}}}dt}= \int\limits_{- \infty}^\infty{{e^{-{t^2}}}dt}= \sqrt \pi[/math]
Отсюда и б) следует г)
Если использовать индукцию, то получим д)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Гамма распределение

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Stasya7

1

356

09 дек 2015, 15:18

Гамма распределение

в форуме Теория вероятностей

Sykes

2

276

21 ноя 2022, 12:52

ОМП для гамма-распределения

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

TeorVer

0

690

10 апр 2016, 05:20

Дискретное гамма распределение

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

946

2

508

27 авг 2018, 16:01

Гамма- Бета функций в КА??

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

kroluk

0

416

22 май 2015, 11:34

Достаточные статистики Гамма распределения

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

antiuser

1

110

22 мар 2024, 20:46

Гамма функция комплексного числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Rawitj

1

212

13 дек 2021, 14:27

Несобственный интеграл (гамма функция)

в форуме Теория вероятностей

May6000

3

548

21 янв 2016, 00:58

Выразить через гамма и бету функции

в форуме Интегральное исчисление

constantin01

2

272

10 мар 2020, 18:49

Выбор подстановки в гамма и бета функциях

в форуме Интегральное исчисление

brom

0

271

22 ноя 2018, 17:15


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved