| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Объем тела & масса тела http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=27359 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | enwise [ 30 окт 2013, 17:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела & масса тела |
если что, заранее предупреждаю, что плохо разбираюсь в этих задачах... 3) [math]{z^2}={x^2}+{y^2}[/math] [поправка] не z, а r [math]\left\{\begin{gathered}z = 3\sqrt{{r^2}}\hfill \\ z = 3 -{r^2}\hfill \\ \end{gathered}\right.[/math] [math]3\sqrt{{r^2}}= 3 -{r^2}\xrightarrow{{r > 0}}\,\,\,\,r = \frac{{3 + \sqrt{21}}}{2}[/math] [math]\int\limits_0^{2\pi}{d\varphi \int\limits_0^{\frac{{3 + \sqrt{21}}}{2}}{rdr}}\int\limits_{3\sqrt{{r^2}}}^{3 -{r^2}}{1dz}[/math] так? 4) [math]{z^2}= 7{r^2}= > r = \frac{z}{{\sqrt 7}}[/math] [math]{r^2}= xx + yy[/math] [math]\int\limits_\pi ^{\frac{{3\pi}}{2}}{d\varphi \int\limits_0^1{rdr}}\int\limits_{{r^2}}^{7{r^2}}{2{r^2}dz}[/math] сущий бред, кажется... но я предупредил :-) помогите. |
|
| Автор: | mad_math [ 30 окт 2013, 18:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела & масса тела |
Почти. Только нужно уточнить, что вы вводите цилиндрические координаты [math]\left\{\!\begin{aligned}& x=r\cos{\varphi}\\ & y=r\sin{\varphi}\\ & z=z \end{aligned}\right.,\,dx\,dy\,dz=r\,d\varphi\,dr\,dz[/math] И положительный корень квадратного уравнения [math]3r=3-r^2[/math] равен [math]r=\frac{-3+\sqrt{21}}{2}[/math] Ещё, в силу симметрии данных поверхностей, можно взять интеграл при [math]0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}[/math], а полученный результат умножить на 4. |
|
| Автор: | enwise [ 30 окт 2013, 18:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела & масса тела |
mad_math, т.е. сама формула для расчета ответа верна (естественно, учитывая Ваши замечания по поводу корня)? |
|
| Автор: | mad_math [ 30 окт 2013, 18:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела & масса тела |
Да. Всё верно. Только ещё одно замечание. Так как [math]r>0[/math], то [math]\sqrt{r^2}=r[/math]. Не нужно перетаскивать корень в интеграл. |
|
| Автор: | enwise [ 30 окт 2013, 18:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела & масса тела |
Спасибо. А по 4 задаче? (обновил) P.S. в задаче 3) выделенная поверхность — кусок двуполостного гиперболоида?... как назвать? или эллиптического параболоида... блин, забыл уже все эти квадрики, напомните. |
|
| Автор: | mad_math [ 30 окт 2013, 18:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела & масса тела |
А вот со 4-м похуже будет. У Вас тело представляет собой цилиндр, сверху и снизу ограниченный конусом. И от всего этого отрезали четверть. Так как тело симметрично относительно плоскостей Ox и Oy, то не имеет значения, какую четвертинку брать, поэтому проще всего взять [math]0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}[/math]. Цилиндр в данном случае перейдёт в границы второго интеграла [math]0\leq r\leq 1[/math]. Границами третьего (внутреннего) интеграла будет конус [math]z=\pm\sqrt{7}r[/math], т.е. получим [math]-\sqrt{7}r\leq z\leq\sqrt{7}r[/math]. Ну и нужно не забывать, при переходе к цилиндрическим координатам, умножать подынтегральную функцию на [math]r[/math], т.е. под интегралом будет не [math]2r^2dz[/math], а [math]2r^3dz[/math] |
|
| Автор: | enwise [ 30 окт 2013, 18:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела & масса тела |
Т.е. [math]\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi \int\limits_0^1{rdr}}\int\limits_{- \sqrt 7 r}^{\sqrt 7 r}{2{r^3}dz}[/math]? |
|
| Автор: | mad_math [ 30 окт 2013, 18:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела & масса тела |
Вроде так
|
|
| Автор: | enwise [ 30 окт 2013, 20:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела & масса тела |
Не, что-то не так [math]\int\limits_{- \sqrt 7 r}^{\sqrt 7 r}{2{r^3}dz}= 2*(\frac{{{r^4}}}{4}\left| \begin{gathered}\sqrt 7 r \hfill \\ - \sqrt 7 r \hfill \\ \end{gathered}\right.) = 2*(49{r^4}- 49{r^4})/4[/math] |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|