Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=27302
Страница 1 из 1

Автор:  RomanM [ 28 окт 2013, 19:05 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела

1) Сделайте схематический рисунок тела.
2) Найдите объём тела с помощью тройного интеграла перейдя к сферическим или цилиндрическим координатам.

[math]x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,[/math]
[math]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\sqrt{3}z,[/math]
[math]x=0,[/math]
[math]z=0[/math] при [math]y \geqslant 0,[/math]
[math]0 \leqslant 2\sqrt{3}z \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2}[/math]

Прошу о помощи, сделать рисунок и найти объём, рисунок - предположительно такой:
Изображение

Автор:  mad_math [ 28 окт 2013, 20:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела

Если [math]z=0,\,x=0[/math] и [math]y\geq 0[/math], то тело будет находиться в первом октанте.

Автор:  Alexander N [ 28 окт 2013, 22:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела

[math]x^2+y^2+z^2=9; R=3;[/math] Сфера радиуса R=3. [math]x^2+y^2+z^2=2\sqrt{3}z; => x^2+y^2+(z-\sqrt{3})^2=3; R=\sqrt{3};[/math] Сфера радиуса R=sqrt{3}.


mad_math писал(а):
Если [math]z=0,\,x=0[/math] и [math]y\geq 0[/math], то тело будет находиться в первом октанте.

По моему система противоречива, поскольку допускает и x>0 и x<0, поэтому в решении проигнорирую [math][=0. => V_*=\frac{1}{2}V_{all}[/math]

Плоскость пересечения сфер [math]z=\frac{3\sqrt{3}}{2}; z^2=\frac{27}{4}; => r^2=x^2+y^2=\frac{9}{4}; => r_1=\frac{3}{2};[/math]

[math]V_{all}=\int_0^{2 \pi}d \varphi [\int_0^{r_1}rdr \int_{\sqrt{3}-\sqrt{3-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}}dz +\int_{r_1}^{\sqrt{3}}rdr \int_{\sqrt{3}-\sqrt{3-r^2}}^{\sqrt{3}+\sqrt{3-r^2}}dz]=2 \pi [-(\frac{1}{3}(9-r^2)^{\frac{3}{2}}+\frac{\sqrt{3}r^2}{2}+\frac{1}{3}(3-r^2)^{\frac{3}{2}})_0^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(3-r^2)^{\frac{3}{2}}|_{\frac{3}{2}}^{\sqrt{3}}]=[/math]

[math]2 \pi [9(1-\frac{3\sqrt{3}}{8})-\frac{9\sqrt{3}}{8}+(9-\frac{\sqrt{3}}{8})+\frac{\sqrt{3}}{4}]=2 \pi[18-\frac{35\sqrt{3}}{8}]=\pi [36-\frac{35\sqrt{3}}{4}][/math]

PS. Проверьте пожалуйста - возможно где то я допустил неточность в выкладках.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/