Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить неопределенный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=27253
Страница 1 из 1

Автор:  Logan [ 27 окт 2013, 17:54 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить неопределенный интеграл

[math]\int \frac{dx}{x^4-16}=\int \frac{dx}{(x-2)(x+2)(x^2+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{Cx+D}{x^2+4}[/math]

[math]1=A(x+2)+B(x-2)+(Cx+D)(x-2)(x^2+4)[/math]
[math]x=2,\ 1=4A, \ A=\frac{1}{4}[/math]
[math]x=1, \ 1=3A-B-5C-5D, \ \frac{1}{4}=-B-5C-5D[/math]
[math]x=0, \ 1=2A-2B-8D, \ \frac{1}{2}=-2B-8D[/math]
[math]x=-1, \ 1=A-3B+15C-15D, \ \frac{3}{4}=-3B+15C-15D[/math]
[math]x=-2, \ 1=-4B+64C-32D[/math]

[math]A=\frac{1}{4}, B=-\frac{1}{4}, C=0, D=0[/math]

Подскажите где я ошибся?

Автор:  mad_math [ 27 окт 2013, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить неопределенный интеграл

Вообще-то, наоборот: [math]A(x+2)(x^2+4)+B(x-2)(x^2+4)+(Cx+D)(x-2)(x+2)=1[/math]

Автор:  mad_math [ 27 окт 2013, 18:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить неопределенный интеграл

И нет необходимости перебирать всё подряд, только [math]x=\pm 2,\,0,\,1[/math]

Автор:  Avgust [ 27 окт 2013, 18:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить неопределенный интеграл

Ничего не надо перебирать. Икс не трогайте. В числителе получите кубический полином и останется решить систему:

[math]A+B+C=0[/math]

[math]2A-2B+D=0[/math]

[math]A+B-C=0[/math]

[math]8A-8B-4D=1[/math]

Система легко решается: [math]A=\frac{1}{32}\, ; \quad B=-\frac{1}{32}\, ; \quad C=0 \, ; \quad D=-\frac 18[/math]

PS Вот какой я получил числитель:

[math]\left( A+B+C \right) {x}^{3}+ \left( 2\,A-2\,B+D \right) {x}^{2}+ \left( 4\,A+4\,B-4\,C \right) x+8\,A-8\,B-4\,D[/math]

Автор:  mad_math [ 27 окт 2013, 18:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить неопределенный интеграл

Avgust
С подстановками проще из [math]A(x+2)(x^2+4)+B(x-2)(x^2+4)+(Cx+D)(x-2)(x+2)=1[/math] получить [math]A[/math] и [math]B[/math], чем решать систему 4 х 4.

Автор:  Avgust [ 27 окт 2013, 21:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить неопределенный интеграл

А чего ее решать? Она в уме доступна. Зато строго алгебраически.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/