Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Криволинейный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=27027
Страница 1 из 2

Автор:  Inna1969 [ 21 окт 2013, 11:05 ]
Заголовок сообщения:  Криволинейный интеграл

Правильно ли решила?
∫(поL)〖y dx-x dy 〗 , де L – еліпс x=a cos t, y=b sin t, напрямок обходу додатній.

∫(поL)〖y dx-x dy 〗 => {x=a cos t => { dx=-a sin t dt
y=b sin t dy=b cos t dt 0≤ t ≤π

∫(поL)〖y dx-x dy 〗=
=∫(от 0 до π) (b sin t-a cos t)*√((-a sin t)^2+(b cos t)^2 ) dt=
=∫(от 0 до π) (b sin t-a cos t)*√(a^2*sin^2 t+b^2*cos^2 t) dt=
=(b sin t-a cos t)*√(a^2*sin^2 t+b^2*cos^2 t)│(от 0 до π)=
=(b sin π-a cos π)*√(a^2*sin^2 π+b^2*cos^2 π))- (b sin 0-a cos 0)*√(a^2*sin^2 0+b^2*cos^2 0)=
=a√(b^2 )+ a√(b^2=) ab+ab=2ab

t не задана, поэтому взяла 0≤ t ≤π

Автор:  Inna1969 [ 21 окт 2013, 15:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл

Правильно ли решила? Почему в ответах получаются разные знаки?
∫(поL)〖y dx-x dy 〗 , де L – еліпс x=a cos t, y=b sin t, напрямок обходу додатній.

∫(поL)〖y dx-x dy 〗 x=a cos t y=b sin t
dx=-a sin t dt dy=b cos t dt
t не задана
0≤ t ≤π
∫(поL)〖y dx-x dy 〗=
=∫(от 0 до π) (b sin t-a cos t)*√((-a sin t)^2+(b cos t)^2 ) dt=
=∫(от 0 до π) (b sin t-a cos t)*√(a^2*sin^2 t+b^2*cos^2 t) dt=
=(b sin t-a cos t)*√(a^2*sin^2 t+b^2*cos^2 t)│(от 0 до π)=
=(b sin π-a cos π)*√(a^2*sin^2 π+b^2*cos^2 π))- (b sin 0-a cos 0)*√(a^2*sin^2 0+b^2*cos^2 0)=
=a√(b^2 )+ a√(b^2=) ab+ab=2ab

0≤ t ≤ 2π

∫(поL)〖y dx-x dy 〗=
=∫(от0 до 2π) (b sin t-a cos t)*√((-a sin t)^2+(b cos t)^2 ) dt=
= ∫(от0 до 2π) (b sin t-a cos t)*√(a^2*(sin 0^2(t)+b^2*(cos^2(t)) dt=
=(b sin t-a cos t)*√(a^2*(sin 0^2(t)+b^2*(cos^2(t))│(от0 до 2π)=
=(b sin 2π-a cos2π)*√(a^2*(sin 0^2(2π)+b^2*(cos^2(2π))- (b sin0-a cos0)*√(a^2*(sin 0^2(0)+b^2*(cos^2(0))=
=(b*0-a*1)*√(a^2*0+b^2 *(1)^2 ))- (b*0-a*1)*√(a^2*0+b^2*1 )=
=-a*√(b^2 )-a*√(b^2 )=
= -2ab

Автор:  mad_math [ 21 окт 2013, 16:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл

Лучше наверно будет прикрепить изображение с решением, ибо эти записи разобрать тяжеловато.

Автор:  Inna1969 [ 22 окт 2013, 16:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл

Изображение

Автор:  Wersel [ 22 окт 2013, 16:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл

А зачем Вы считаете два раза с разными пределами?

Автор:  Inna1969 [ 22 окт 2013, 16:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл

в условии не задан предел, не знаю какой правильно взять. Ответы по знакам разные получаются
по логике нужно взять от 0 до 2 \pi (я же изначально не знаю в какой четверти кривая)

Автор:  Wersel [ 22 окт 2013, 17:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл

В параметрическом виде уравнение эллипса будет:

[math]\left\{\!\begin{aligned}& x=a \cdot \cos(t) \\& y=a \cdot \sin(t) \end{aligned}\right.[/math]

[math]0 \leqslant t \leqslant 2 \pi[/math]

Автор:  mad_math [ 22 окт 2013, 17:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл

У Вас дан интеграл II рода, а вы его вычисляете, как интеграл I рода.

Автор:  Inna1969 [ 22 окт 2013, 17:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл

спасибо за подсказку, буду дальше мучаться( вспоминать давно забытое)

Автор:  Inna1969 [ 22 окт 2013, 18:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл

Надеюсь это правильно?
Изображение

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/