| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Оценка интеграла http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26899 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | lexus666 [ 16 окт 2013, 09:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Оценка интеграла |
Уважаемые форумчане, доброго времени суток! Есть у меня интеграл (a - произволное число в том числе и ноль): [math]\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx[/math] я хочу его оценить (именно оценить, а не посчитать). Пробовал так: [math]\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx<\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{\mid x^4-a^4\mid}dx=\int\limits_{-1}^1\frac{1}{\mid x^2-a^2\mid}dx[/math] ну а последний интеграл либо расходится либо не существует (в зависимости от a). Подскажите как можно его оценить? Спасибо. |
|
| Автор: | andrei [ 16 окт 2013, 10:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Оценка интеграла |
Может попробовать разложить подинтегральную функцию в ряд? |
|
| Автор: | lexus666 [ 16 окт 2013, 10:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Оценка интеграла |
Спасибо, что откликнулись andrei писал(а): Может попробовать разложить подинтегральную функцию в ряд? при произвольных a не понятно на каком члене обрывать ряд, к сожалению. Поэтому и возник изначальный вопрос. |
|
| Автор: | Alexander N [ 16 окт 2013, 11:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Оценка интеграла |
Чего вы паритесь? [math]1). a \ne 0; => x^4+a^4 \geqslant a^4; => \frac{1}{x^4+a^4}\leqslant \frac{1}{a^4}; => \int_{-1}^1 \frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx \leqslant \int_{-1}^1 \frac{x^2+a^2}{a^4}dx = \frac{2(\frac{1}{3}+a^2)}{a^4};[/math] [math]2. a=0; => \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx = \int_{-1}^0 \frac{1}{x^2}dx+\int_0^1 \frac{1}{x^2}dx=\int_0^1 \frac{1}{x^2}dx-\int_1^0 \frac{1}{x^2}dx=2 \int_0^1 \frac{1}{x^2}dx[/math] Интеграл расходится в нуле |
|
| Автор: | andrei [ 16 окт 2013, 12:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Оценка интеграла |
Производим замену [math]x=atg(t)[/math] при условии [math]a \ne 0[/math]. Так как [math]cos^{4}t+sin^{4}t=1-\frac{ sin^{2}(2t) }{ 2 }=(cos^{2}t-sin^{2}t)^{2}+\frac{ sin^{2}(2t) }{ 2 }=\frac{ 1 }{ 2 }+\frac{ cos^{2}(2t) }{ 2 }[/math] то [math]\frac{ 1 }{ 2 }<cos^{4}t+sin^{4}t<1[/math] откуда [math]1<\frac{ 1 }{cos^{4}t+sin^{4}t }<2[/math] Откуда и находим оценку. |
|
| Автор: | lexus666 [ 16 окт 2013, 18:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Оценка интеграла |
Спасибо товарищи, за интересные варианты .Я все же сделал по тупому, но наверняка: [math]\int\limits_{a}^{b}f(x)dx<f_{max}(b-a)\to\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx<\frac{1}{a^2(\sqrt{2}-1)}[/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 16 окт 2013, 19:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Оценка интеграла |
lexus666 |
|
| Автор: | lexus666 [ 17 окт 2013, 06:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Оценка интеграла |
mad_math |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|