Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Оценка интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26899
Страница 1 из 1

Автор:  lexus666 [ 16 окт 2013, 09:57 ]
Заголовок сообщения:  Оценка интеграла

Уважаемые форумчане, доброго времени суток!

Есть у меня интеграл (a - произволное число в том числе и ноль):

[math]\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx[/math]

я хочу его оценить (именно оценить, а не посчитать). Пробовал так:

[math]\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx<\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{\mid x^4-a^4\mid}dx=\int\limits_{-1}^1\frac{1}{\mid x^2-a^2\mid}dx[/math]

ну а последний интеграл либо расходится либо не существует (в зависимости от a).
Подскажите как можно его оценить?
Спасибо.

Автор:  andrei [ 16 окт 2013, 10:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оценка интеграла

Может попробовать разложить подинтегральную функцию в ряд?

Автор:  lexus666 [ 16 окт 2013, 10:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оценка интеграла

Спасибо, что откликнулись :)
andrei писал(а):
Может попробовать разложить подинтегральную функцию в ряд?

при произвольных a не понятно на каком члене обрывать ряд, к сожалению.
Поэтому и возник изначальный вопрос.

Автор:  Alexander N [ 16 окт 2013, 11:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оценка интеграла

Чего вы паритесь?
[math]1). a \ne 0; => x^4+a^4 \geqslant a^4; => \frac{1}{x^4+a^4}\leqslant \frac{1}{a^4}; => \int_{-1}^1 \frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx \leqslant \int_{-1}^1 \frac{x^2+a^2}{a^4}dx = \frac{2(\frac{1}{3}+a^2)}{a^4};[/math]

[math]2. a=0; => \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx = \int_{-1}^0 \frac{1}{x^2}dx+\int_0^1 \frac{1}{x^2}dx=\int_0^1 \frac{1}{x^2}dx-\int_1^0 \frac{1}{x^2}dx=2 \int_0^1 \frac{1}{x^2}dx[/math] Интеграл расходится в нуле

Автор:  andrei [ 16 окт 2013, 12:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оценка интеграла

Производим замену [math]x=atg(t)[/math] при условии [math]a \ne 0[/math].
Так как [math]cos^{4}t+sin^{4}t=1-\frac{ sin^{2}(2t) }{ 2 }=(cos^{2}t-sin^{2}t)^{2}+\frac{ sin^{2}(2t) }{ 2 }=\frac{ 1 }{ 2 }+\frac{ cos^{2}(2t) }{ 2 }[/math]
то [math]\frac{ 1 }{ 2 }<cos^{4}t+sin^{4}t<1[/math] откуда [math]1<\frac{ 1 }{cos^{4}t+sin^{4}t }<2[/math]
Откуда и находим оценку.

Автор:  lexus666 [ 16 окт 2013, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оценка интеграла

Спасибо товарищи, за интересные варианты :) .

Я все же сделал по тупому, но наверняка:

[math]\int\limits_{a}^{b}f(x)dx<f_{max}(b-a)\to\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx<\frac{1}{a^2(\sqrt{2}-1)}[/math]

Автор:  mad_math [ 16 окт 2013, 19:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оценка интеграла

lexus666
Приветствую. Давно вас не было :)

Автор:  lexus666 [ 17 окт 2013, 06:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оценка интеграла

mad_math
Уважаемая mad_math! Я тоже Вас категорически приветствую! :Yahoo!: И не только Вас, а также всех завсегдатаев! Мне бы хотелось заходить по чаще, но времени просто катастрофически нет :(, потому кроме как спросить совета и не захожу. Рад видеть Вас в той же должности :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/