Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Оценка интеграла
СообщениеДобавлено: 16 окт 2013, 09:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые форумчане, доброго времени суток!

Есть у меня интеграл (a - произволное число в том числе и ноль):

[math]\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx[/math]

я хочу его оценить (именно оценить, а не посчитать). Пробовал так:

[math]\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx<\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{\mid x^4-a^4\mid}dx=\int\limits_{-1}^1\frac{1}{\mid x^2-a^2\mid}dx[/math]

ну а последний интеграл либо расходится либо не существует (в зависимости от a).
Подскажите как можно его оценить?
Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оценка интеграла
СообщениеДобавлено: 16 окт 2013, 10:28 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может попробовать разложить подинтегральную функцию в ряд?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оценка интеграла
СообщениеДобавлено: 16 окт 2013, 10:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, что откликнулись :)
andrei писал(а):
Может попробовать разложить подинтегральную функцию в ряд?

при произвольных a не понятно на каком члене обрывать ряд, к сожалению.
Поэтому и возник изначальный вопрос.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оценка интеграла
СообщениеДобавлено: 16 окт 2013, 11:39 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чего вы паритесь?
[math]1). a \ne 0; => x^4+a^4 \geqslant a^4; => \frac{1}{x^4+a^4}\leqslant \frac{1}{a^4}; => \int_{-1}^1 \frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx \leqslant \int_{-1}^1 \frac{x^2+a^2}{a^4}dx = \frac{2(\frac{1}{3}+a^2)}{a^4};[/math]

[math]2. a=0; => \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx = \int_{-1}^0 \frac{1}{x^2}dx+\int_0^1 \frac{1}{x^2}dx=\int_0^1 \frac{1}{x^2}dx-\int_1^0 \frac{1}{x^2}dx=2 \int_0^1 \frac{1}{x^2}dx[/math] Интеграл расходится в нуле

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
lexus666
 Заголовок сообщения: Re: Оценка интеграла
СообщениеДобавлено: 16 окт 2013, 12:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Производим замену [math]x=atg(t)[/math] при условии [math]a \ne 0[/math].
Так как [math]cos^{4}t+sin^{4}t=1-\frac{ sin^{2}(2t) }{ 2 }=(cos^{2}t-sin^{2}t)^{2}+\frac{ sin^{2}(2t) }{ 2 }=\frac{ 1 }{ 2 }+\frac{ cos^{2}(2t) }{ 2 }[/math]
то [math]\frac{ 1 }{ 2 }<cos^{4}t+sin^{4}t<1[/math] откуда [math]1<\frac{ 1 }{cos^{4}t+sin^{4}t }<2[/math]
Откуда и находим оценку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
lexus666
 Заголовок сообщения: Re: Оценка интеграла
СообщениеДобавлено: 16 окт 2013, 18:30 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо товарищи, за интересные варианты :) .

Я все же сделал по тупому, но наверняка:

[math]\int\limits_{a}^{b}f(x)dx<f_{max}(b-a)\to\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx<\frac{1}{a^2(\sqrt{2}-1)}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оценка интеграла
СообщениеДобавлено: 16 окт 2013, 19:30 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lexus666
Приветствую. Давно вас не было :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оценка интеграла
СообщениеДобавлено: 17 окт 2013, 06:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
Уважаемая mad_math! Я тоже Вас категорически приветствую! :Yahoo!: И не только Вас, а также всех завсегдатаев! Мне бы хотелось заходить по чаще, но времени просто катастрофически нет :(, потому кроме как спросить совета и не захожу. Рад видеть Вас в той же должности :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Оценка интеграла

в форуме Интегральное исчисление

lexus666

0

221

05 дек 2018, 11:09

Оценка модуля интеграла y=5sin(x) на отрезке

в форуме Интегральное исчисление

yota

4

1229

18 ноя 2016, 12:18

Оценка асимптотики

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

AlexKostal

1

129

08 авг 2021, 15:05

Оценка дисперсии

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

TeorVer

0

401

05 авг 2016, 06:55

Оценка работы

в форуме Теория вероятностей

turobovas

17

615

19 июн 2020, 19:40

Состоятельная оценка

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

fblwr

5

482

05 июн 2017, 17:16

Оценка вероятности

в форуме Теория вероятностей

Teosty

1

211

20 май 2018, 11:41

Оценка синусов

в форуме Ряды

e7min

3

752

20 окт 2019, 11:54

Оценка бизнеса

в форуме Экономика и Финансы

qwerty333

0

239

26 окт 2016, 19:48

Несмещенная оценка

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

TeorVer

3

586

12 ноя 2015, 00:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved