Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Объем тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26844
Страница 1 из 1

Автор:  Wersel [ 13 окт 2013, 17:22 ]
Заголовок сообщения:  Объем тела

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Есть такая задачка: найти объем тела [math]$$T$$[/math], ограниченного поверхностями: [math]$$ z=4-x^2-y^2, 9z=-5 \cdot (x^2+y^2), y=0 ( y \leqslant 0) $$[/math]

Мои мысли таковы:

Тело [math]$$T$$[/math] ограничено параболоидами: [math]$$ z=4-x^2-y^2, z= - \frac{5}{9} \cdot (x^2+y^2)$$[/math] и плоскостью [math]$$y=0$$[/math] при [math]$$y \leqslant 0$$[/math].

Рисунок получился вот такой:
Изображение


Верен ли он?

Перейдем к цилиндрическим координатам: [math]$z=4-r^2, z=- \frac{5}{9} \cdot r^2$[/math]

Тогда: [math]$$V = \iiint\limits_{T} r dr d \varphi dz = \iint\limits_{D} r dr d \varphi \int\limits_{- \frac{5}{9} \cdot r^2}^{4-r^2} dz = \iint\limits_{D} (4r- \frac{4}{9} r^3) dr d \varphi$$[/math]

Найдем проекцию тела [math]$$T$$[/math] на плоскость [math]$$xOy$$[/math] - область [math]$$D$$[/math]:

[math]$$\left\{\begin{matrix} z=4-x^2-y^2\\ 9z=-5 \cdot (x^2+y^2)\end{matrix}\right. \Rightarrow 4-z = - \frac{9}{5} z \Rightarrow z =-5$$[/math]

Данные параболоиды пересекаются в плоскости [math]$$z=-5$$[/math] по окружности [math]$$x^2+y^2=9$$[/math]. Следовательно, область [math]$$D$$[/math] это половина круга [math]$$x^2+y^2 \leqslant 9$$[/math] [math]$$(y \leqslant 0)$$[/math], в полярных координатах: [math]$$0 \leqslant r \leqslant 3, \pi \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$$[/math]

Область D:
Изображение


Тогда, искомый объем: [math]$$V = \int\limits_{\pi}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{3} (4r- \frac{4}{9} r^3) dr = ... = 9 \pi $$[/math]


Если кому не сложно - посмотрите, пожалуйста, мое решение. Может где допустил неточности/ошибки? Заранее спасибо за помощь!

Автор:  erjoma [ 13 окт 2013, 17:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

По-моему мнению, все верно.

Автор:  Wersel [ 13 окт 2013, 21:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

erjoma
Спасибо!

Автор:  erjoma [ 13 окт 2013, 21:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

Пожалуйста.

Автор:  Wersel [ 13 окт 2013, 22:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

erjoma
Кстати, мне тут на соседнем форуме подсказали, что обычно ось [math]Oy[/math] направляют в противоположную сторону. Но это же не будет ошибкой, как Вы считаете?

Автор:  erjoma [ 13 окт 2013, 22:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

Я думаю имели в виду не противоположное направление оси [math]Oy[/math], т.к. если ее направить в другую сторону, то получите левую систему координат, а поворот плоскости [math]xOy[/math] на 90 градусов, против часовой стрелки. Тогда получится "обычный" чертеж.

Автор:  Wersel [ 13 окт 2013, 22:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

erjoma
Цитата:
Обычно ось OY направляют вправо, т.е. правая система координат. Вы изобразили в левой системе координат.

Автор:  erjoma [ 13 окт 2013, 22:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

Да они правы,а я ошибся, у Вас изображено в левой системе координат.
Но построенение в левой системе координат не является ошибкой. Просто "обычно" строят в правой.

Автор:  Wersel [ 13 окт 2013, 23:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела

erjoma
Понял, спасибо за разъяснение! :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/