| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Объем тела http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26844 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Wersel [ 13 окт 2013, 17:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Объем тела |
Здравствуйте, уважаемые форумчане! Есть такая задачка: найти объем тела [math]$$T$$[/math], ограниченного поверхностями: [math]$$ z=4-x^2-y^2, 9z=-5 \cdot (x^2+y^2), y=0 ( y \leqslant 0) $$[/math] Мои мысли таковы: Тело [math]$$T$$[/math] ограничено параболоидами: [math]$$ z=4-x^2-y^2, z= - \frac{5}{9} \cdot (x^2+y^2)$$[/math] и плоскостью [math]$$y=0$$[/math] при [math]$$y \leqslant 0$$[/math]. Рисунок получился вот такой: Верен ли он? Перейдем к цилиндрическим координатам: [math]$z=4-r^2, z=- \frac{5}{9} \cdot r^2$[/math] Тогда: [math]$$V = \iiint\limits_{T} r dr d \varphi dz = \iint\limits_{D} r dr d \varphi \int\limits_{- \frac{5}{9} \cdot r^2}^{4-r^2} dz = \iint\limits_{D} (4r- \frac{4}{9} r^3) dr d \varphi$$[/math] Найдем проекцию тела [math]$$T$$[/math] на плоскость [math]$$xOy$$[/math] - область [math]$$D$$[/math]: [math]$$\left\{\begin{matrix} z=4-x^2-y^2\\ 9z=-5 \cdot (x^2+y^2)\end{matrix}\right. \Rightarrow 4-z = - \frac{9}{5} z \Rightarrow z =-5$$[/math] Данные параболоиды пересекаются в плоскости [math]$$z=-5$$[/math] по окружности [math]$$x^2+y^2=9$$[/math]. Следовательно, область [math]$$D$$[/math] это половина круга [math]$$x^2+y^2 \leqslant 9$$[/math] [math]$$(y \leqslant 0)$$[/math], в полярных координатах: [math]$$0 \leqslant r \leqslant 3, \pi \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$$[/math] Область D: Тогда, искомый объем: [math]$$V = \int\limits_{\pi}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{3} (4r- \frac{4}{9} r^3) dr = ... = 9 \pi $$[/math] Если кому не сложно - посмотрите, пожалуйста, мое решение. Может где допустил неточности/ошибки? Заранее спасибо за помощь! |
|
| Автор: | erjoma [ 13 окт 2013, 17:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
По-моему мнению, все верно. |
|
| Автор: | Wersel [ 13 окт 2013, 21:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
erjoma Спасибо! |
|
| Автор: | erjoma [ 13 окт 2013, 21:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
Пожалуйста. |
|
| Автор: | Wersel [ 13 окт 2013, 22:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
erjoma Кстати, мне тут на соседнем форуме подсказали, что обычно ось [math]Oy[/math] направляют в противоположную сторону. Но это же не будет ошибкой, как Вы считаете? |
|
| Автор: | erjoma [ 13 окт 2013, 22:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
Я думаю имели в виду не противоположное направление оси [math]Oy[/math], т.к. если ее направить в другую сторону, то получите левую систему координат, а поворот плоскости [math]xOy[/math] на 90 градусов, против часовой стрелки. Тогда получится "обычный" чертеж. |
|
| Автор: | Wersel [ 13 окт 2013, 22:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
erjoma Цитата: Обычно ось OY направляют вправо, т.е. правая система координат. Вы изобразили в левой системе координат.
|
|
| Автор: | erjoma [ 13 окт 2013, 22:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
Да они правы,а я ошибся, у Вас изображено в левой системе координат. Но построенение в левой системе координат не является ошибкой. Просто "обычно" строят в правой. |
|
| Автор: | Wersel [ 13 окт 2013, 23:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела |
erjoma Понял, спасибо за разъяснение!
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|