Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Wersel |
|
|
|
Есть такая задачка: найти объем тела [math]$$T$$[/math], ограниченного поверхностями: [math]$$ z=4-x^2-y^2, 9z=-5 \cdot (x^2+y^2), y=0 ( y \leqslant 0) $$[/math] Мои мысли таковы: Тело [math]$$T$$[/math] ограничено параболоидами: [math]$$ z=4-x^2-y^2, z= - \frac{5}{9} \cdot (x^2+y^2)$$[/math] и плоскостью [math]$$y=0$$[/math] при [math]$$y \leqslant 0$$[/math]. Рисунок получился вот такой: Верен ли он? Перейдем к цилиндрическим координатам: [math]$z=4-r^2, z=- \frac{5}{9} \cdot r^2$[/math] Тогда: [math]$$V = \iiint\limits_{T} r dr d \varphi dz = \iint\limits_{D} r dr d \varphi \int\limits_{- \frac{5}{9} \cdot r^2}^{4-r^2} dz = \iint\limits_{D} (4r- \frac{4}{9} r^3) dr d \varphi$$[/math] Найдем проекцию тела [math]$$T$$[/math] на плоскость [math]$$xOy$$[/math] - область [math]$$D$$[/math]: [math]$$\left\{\begin{matrix} z=4-x^2-y^2\\ 9z=-5 \cdot (x^2+y^2)\end{matrix}\right. \Rightarrow 4-z = - \frac{9}{5} z \Rightarrow z =-5$$[/math] Данные параболоиды пересекаются в плоскости [math]$$z=-5$$[/math] по окружности [math]$$x^2+y^2=9$$[/math]. Следовательно, область [math]$$D$$[/math] это половина круга [math]$$x^2+y^2 \leqslant 9$$[/math] [math]$$(y \leqslant 0)$$[/math], в полярных координатах: [math]$$0 \leqslant r \leqslant 3, \pi \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$$[/math] Область D: Тогда, искомый объем: [math]$$V = \int\limits_{\pi}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{3} (4r- \frac{4}{9} r^3) dr = ... = 9 \pi $$[/math] Если кому не сложно - посмотрите, пожалуйста, мое решение. Может где допустил неточности/ошибки? Заранее спасибо за помощь! |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
По-моему мнению, все верно.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: Wersel |
||
| Wersel |
|
|
|
erjoma
Спасибо! |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
Пожалуйста.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Wersel |
|
|
|
erjoma
Кстати, мне тут на соседнем форуме подсказали, что обычно ось [math]Oy[/math] направляют в противоположную сторону. Но это же не будет ошибкой, как Вы считаете? |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
Я думаю имели в виду не противоположное направление оси [math]Oy[/math], т.к. если ее направить в другую сторону, то получите левую систему координат, а поворот плоскости [math]xOy[/math] на 90 градусов, против часовой стрелки. Тогда получится "обычный" чертеж.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: Wersel |
||
| Wersel |
|
|
|
erjoma
Цитата: Обычно ось OY направляют вправо, т.е. правая система координат. Вы изобразили в левой системе координат. |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
Да они правы,а я ошибся, у Вас изображено в левой системе координат.
Но построенение в левой системе координат не является ошибкой. Просто "обычно" строят в правой. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: Wersel |
||
| Wersel |
|
|
|
erjoma
Понял, спасибо за разъяснение! ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 9 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Объем тела и момент инерции однородного тела. Интегралы
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
142 |
30 май 2022, 13:56 |
|
|
Объем тела
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
278 |
22 май 2019, 19:18 |
|
|
Объем тела
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
263 |
22 июн 2022, 00:08 |
|
|
Объем тела
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
241 |
19 июн 2018, 19:15 |
|
|
Объем тела
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
179 |
08 дек 2016, 09:03 |
|
|
Объём тела
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
229 |
16 дек 2016, 01:36 |
|
|
Объем тела
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
272 |
16 мар 2017, 13:06 |
|
|
Объем тела
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
334 |
01 апр 2015, 18:17 |
|
|
Объем тела
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
242 |
14 окт 2020, 19:37 |
|
|
Объем тела
в форуме Интегральное исчисление |
23 |
516 |
09 сен 2020, 08:29 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |