Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти с точностью до 0,01 объем тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26610
Страница 1 из 1

Автор:  Rafael [ 30 сен 2013, 20:12 ]
Заголовок сообщения:  Найти с точностью до 0,01 объем тела

Помогите, пожалуйста, с решением задачи.

[math]x^2+y^2-2=z,~ z=1[/math]. Найти [math]V[/math].

Автор:  Alexdemath [ 02 окт 2013, 14:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти с точностью до 0,01 объем тела

Область интегрирования

[math]G = \Bigl\{x^2+y^2\leqslant 3,~ x^2+y^2- 2 \leqslant z \leqslant 1\Bigr\}[/math]

Запишем её в цилиндрических координатах [math]\left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\ y = r\sin \varphi , \hfill \\ z = z \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]

[math]G^{\ast}= \Bigr\{0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi,~ 0 \leqslant r \leqslant \sqrt 3 ,~ r^2}- 2 \leqslant z \leqslant 1\Bigr\}[/math]

Вычислим искомый объём

[math]\begin{aligned}V &= \iiint\limits_G dxdydz = \iiint\limits_{G^*}r\,drd\varphi dz = \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^{\sqrt 3}r\,dr \int\limits_{r^2 - 2}^1 dz= \\ &= 2\pi \int\limits_0^{\sqrt 3}r\,dr(3-r^2) = 2\pi \int\limits_0^{\sqrt 3}(3r - r^3)\,dr= \left.{2\pi \left(\frac{3}{2}{r^2}- \frac{1}{4}{r^4}\right)}\right|_0^{\sqrt 3}= \\ &= 2\pi \left({\frac{3}{2}\cdot 3 - \frac{1}{4}\cdot 9}\right) = 2\pi \cdot \frac{9}{4}= \frac{9}{2}\pi \end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/