| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Исследование на сходимость интеграла http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26593 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | zaplot [ 29 сен 2013, 23:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Исследование на сходимость интеграла |
![]() Данный интеграл надо проверить на сходимость и абсолютную сходимость. Я плохо разбираюсь в этой теме, но с нескольких попыток все же набросал некоторые мысли. Рассмотрел на абсолютную сходимость и получил 7 разных случаев(в зависимости от а и b) . Расскажите пожалуйста хотя бы ход мысли для рассмотрения на сходимость, потому что я не знаю как это сделать. Спасибо и простите за dx , не поместился |
|
| Автор: | Alexander N [ 29 сен 2013, 23:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость интеграла |
Если мне не изменяет память, то это очень напоминает определение гамма-функции. Пошерстите поисковиком гамма - функцию. |
|
| Автор: | zaplot [ 30 сен 2013, 01:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость интеграла |
Почитал про гамма функцию. Вроде не то . Мне предлагали через формулы Эйлера попробовать, но к сожалению так нельзя.
|
|
| Автор: | erjoma [ 30 сен 2013, 02:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость интеграла |
[math]\int\limits_1^\infty {\frac{{\sin \pi x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\alpha }{x^\beta }}}dx} = \int\limits_1^a {\frac{{\sin \pi x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\alpha }{x^\beta }}}dx} + \int\limits_a^\infty {\frac{{\sin \pi x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\alpha }{x^\beta }}}dx} {\rm{ }}[/math] Почитайте Г.М. Фихтенголца Курс дифференциального и нтегрального исчисления, том 2 стр 564 (признак Дирихле) , стр 584 (признаки Коши) |
|
| Автор: | Alexander N [ 30 сен 2013, 11:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость интеграла |
Для абсолютной сходимости неплохо промажорировать подынтегральное выражение [math]\frac{sin(\pi x)}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}< \frac{1}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}[/math] Тогда задача становится вполне понятной. Сходимость в 1 будет по-моему в любом случае при [math]\alpha < 1[/math] Абсолютная сходимость на [math]\infty[/math] будет, если [math]\alpha + \beta > 1[/math] Случай условной сходимости на [math]\infty[/math] будет видимо, если [math]0< \alpha + \beta < 1[/math] Случай [math]\alpha + \beta < 0[/math] на [math]\infty[/math] будет видимо соответствовать расходимости, поскольку по интегральному признаку сходимости для рядов можно получить условие, по которому n член ряда будет стремится не к нулю, а к бесконечности. |
|
| Автор: | Human [ 30 сен 2013, 11:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость интеграла |
1. В окрестности единицы имеем [math]\frac{\sin\pi x}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}\sim-\frac{\pi}{(x-1)^{\alpha-1}}[/math] откуда интеграл в окрестности единицы сходится при [math]\alpha<2[/math] и расходится при [math]\alpha\geqslant2[/math]. 2. В окрестности бесконечности имеем [math]\frac{\sin\pi x}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}\sim\frac{\sin\pi x}{x^{\alpha+\beta}}[/math] откуда следует абсолютная сходимость при [math]\alpha+\beta>1[/math]. При [math]0<\alpha+\beta\leqslant1[/math] интеграл сходится условно (сходимость устанавливается по признаку Дирихле, а расходимость интеграла от модуля с помощью стандартного приёма с неравенством [math]|\sin\pi x|\geqslant\sin^2\pi x=\frac12-\frac12\cos2\pi x[/math]). Наконец, при [math]\alpha+\beta\leqslant0[/math] интеграл расходится по критерию Коши. Итого: сходится абсолютно при [math]\alpha<2,\alpha+\beta>1[/math], сходится условно [math]\alpha<2, 0<\alpha+\beta\leqslant1[/math], расходится при всех остальных. |
|
| Автор: | zaplot [ 30 сен 2013, 18:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость интеграла |
Спасибо большое Почитаю про Абеля и Дирихле и критерий Коши.
|
|
| Автор: | zaplot [ 30 сен 2013, 18:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость интеграла |
Единственное, что при [math]0 < \alpha + \beta < 1[/math] не подходит под признак Дирихле [math]\boldsymbol{G} ' = \frac{ x^{1- \alpha - \beta} }{ 1- \alpha - \beta }[/math] что явно > 0 |
|
| Автор: | zaplot [ 30 сен 2013, 18:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость интеграла |
[math]\sqrt{a}[/math] |
|
| Автор: | Human [ 30 сен 2013, 18:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость интеграла |
zaplot писал(а): [math]\boldsymbol{G} ' = \frac{ x^{1- \alpha - \beta} }{ 1- \alpha - \beta }[/math] что явно > 0 Вы выписали интеграл от [math]x^{-(\alpha+\beta)}[/math], а не производную. Кроме того, для знакопеременных функций признаки сравнения не работают (работают только для исследования на абсолютную сходимость), поэтому по Дирихле нужно исследовать исходный интеграл, а не [math]\frac{\sin\pi x}{x^{\alpha+\beta}}[/math]. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|