Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследование на сходимость интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26593
Страница 1 из 2

Автор:  zaplot [ 29 сен 2013, 23:01 ]
Заголовок сообщения:  Исследование на сходимость интеграла

Изображение
Данный интеграл надо проверить на сходимость и абсолютную сходимость. Я плохо разбираюсь в этой теме, но с нескольких попыток все же набросал некоторые мысли. Рассмотрел на абсолютную сходимость и получил 7 разных случаев(в зависимости от а и b) . Расскажите пожалуйста хотя бы ход мысли для рассмотрения на сходимость, потому что я не знаю как это сделать. Спасибо и простите за dx , не поместился

Автор:  Alexander N [ 29 сен 2013, 23:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость интеграла

Если мне не изменяет память, то это очень напоминает определение гамма-функции. Пошерстите поисковиком гамма - функцию.

Автор:  zaplot [ 30 сен 2013, 01:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость интеграла

Почитал про гамма функцию. Вроде не то . Мне предлагали через формулы Эйлера попробовать, но к сожалению так нельзя. :(

Автор:  erjoma [ 30 сен 2013, 02:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость интеграла

[math]\int\limits_1^\infty {\frac{{\sin \pi x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\alpha }{x^\beta }}}dx} = \int\limits_1^a {\frac{{\sin \pi x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\alpha }{x^\beta }}}dx} + \int\limits_a^\infty {\frac{{\sin \pi x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\alpha }{x^\beta }}}dx} {\rm{ }}[/math]
Почитайте Г.М. Фихтенголца Курс дифференциального и нтегрального исчисления, том 2 стр 564 (признак Дирихле) , стр 584 (признаки Коши)

Автор:  Alexander N [ 30 сен 2013, 11:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость интеграла

Для абсолютной сходимости неплохо промажорировать подынтегральное выражение
[math]\frac{sin(\pi x)}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}< \frac{1}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}[/math]
Тогда задача становится вполне понятной.
Сходимость в 1 будет по-моему в любом случае при [math]\alpha < 1[/math]
Абсолютная сходимость на [math]\infty[/math] будет, если [math]\alpha + \beta > 1[/math]
Случай условной сходимости на [math]\infty[/math] будет видимо, если [math]0< \alpha + \beta < 1[/math]
Случай [math]\alpha + \beta < 0[/math] на [math]\infty[/math] будет видимо соответствовать расходимости, поскольку по интегральному признаку сходимости для рядов можно получить условие, по которому n член ряда будет стремится не к нулю, а к бесконечности.

Автор:  Human [ 30 сен 2013, 11:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость интеграла

1. В окрестности единицы имеем

[math]\frac{\sin\pi x}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}\sim-\frac{\pi}{(x-1)^{\alpha-1}}[/math]

откуда интеграл в окрестности единицы сходится при [math]\alpha<2[/math] и расходится при [math]\alpha\geqslant2[/math].

2. В окрестности бесконечности имеем

[math]\frac{\sin\pi x}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}\sim\frac{\sin\pi x}{x^{\alpha+\beta}}[/math]

откуда следует абсолютная сходимость при [math]\alpha+\beta>1[/math]. При [math]0<\alpha+\beta\leqslant1[/math] интеграл сходится условно (сходимость устанавливается по признаку Дирихле, а расходимость интеграла от модуля с помощью стандартного приёма с неравенством [math]|\sin\pi x|\geqslant\sin^2\pi x=\frac12-\frac12\cos2\pi x[/math]). Наконец, при [math]\alpha+\beta\leqslant0[/math] интеграл расходится по критерию Коши.

Итого: сходится абсолютно при [math]\alpha<2,\alpha+\beta>1[/math], сходится условно [math]\alpha<2, 0<\alpha+\beta\leqslant1[/math], расходится при всех остальных.

Автор:  zaplot [ 30 сен 2013, 18:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость интеграла

Спасибо большое :) Почитаю про Абеля и Дирихле и критерий Коши.

Автор:  zaplot [ 30 сен 2013, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость интеграла

Единственное, что при [math]0 < \alpha + \beta < 1[/math] не подходит под признак Дирихле [math]\boldsymbol{G} ' = \frac{ x^{1- \alpha - \beta} }{ 1- \alpha - \beta }[/math] что явно > 0

Автор:  zaplot [ 30 сен 2013, 18:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость интеграла

[math]\sqrt{a}[/math]

Автор:  Human [ 30 сен 2013, 18:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость интеграла

zaplot писал(а):
[math]\boldsymbol{G} ' = \frac{ x^{1- \alpha - \beta} }{ 1- \alpha - \beta }[/math] что явно > 0


Вы выписали интеграл от [math]x^{-(\alpha+\beta)}[/math], а не производную.
Кроме того, для знакопеременных функций признаки сравнения не работают (работают только для исследования на абсолютную сходимость), поэтому по Дирихле нужно исследовать исходный интеграл, а не [math]\frac{\sin\pi x}{x^{\alpha+\beta}}[/math].

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/