Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| zaplot |
|
|
![]() Данный интеграл надо проверить на сходимость и абсолютную сходимость. Я плохо разбираюсь в этой теме, но с нескольких попыток все же набросал некоторые мысли. Рассмотрел на абсолютную сходимость и получил 7 разных случаев(в зависимости от а и b) . Расскажите пожалуйста хотя бы ход мысли для рассмотрения на сходимость, потому что я не знаю как это сделать. Спасибо и простите за dx , не поместился |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexander N |
|
|
|
Если мне не изменяет память, то это очень напоминает определение гамма-функции. Пошерстите поисковиком гамма - функцию.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| zaplot |
|
|
|
Почитал про гамма функцию. Вроде не то . Мне предлагали через формулы Эйлера попробовать, но к сожалению так нельзя.
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
[math]\int\limits_1^\infty {\frac{{\sin \pi x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\alpha }{x^\beta }}}dx} = \int\limits_1^a {\frac{{\sin \pi x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\alpha }{x^\beta }}}dx} + \int\limits_a^\infty {\frac{{\sin \pi x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\alpha }{x^\beta }}}dx} {\rm{ }}[/math]
Почитайте Г.М. Фихтенголца Курс дифференциального и нтегрального исчисления, том 2 стр 564 (признак Дирихле) , стр 584 (признаки Коши) |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexander N |
|
|
|
Для абсолютной сходимости неплохо промажорировать подынтегральное выражение
[math]\frac{sin(\pi x)}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}< \frac{1}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}[/math] Тогда задача становится вполне понятной. Сходимость в 1 будет по-моему в любом случае при [math]\alpha < 1[/math] Абсолютная сходимость на [math]\infty[/math] будет, если [math]\alpha + \beta > 1[/math] Случай условной сходимости на [math]\infty[/math] будет видимо, если [math]0< \alpha + \beta < 1[/math] Случай [math]\alpha + \beta < 0[/math] на [math]\infty[/math] будет видимо соответствовать расходимости, поскольку по интегральному признаку сходимости для рядов можно получить условие, по которому n член ряда будет стремится не к нулю, а к бесконечности. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали: Alexdemath, zaplot |
||
| Human |
|
|
|
1. В окрестности единицы имеем
[math]\frac{\sin\pi x}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}\sim-\frac{\pi}{(x-1)^{\alpha-1}}[/math] откуда интеграл в окрестности единицы сходится при [math]\alpha<2[/math] и расходится при [math]\alpha\geqslant2[/math]. 2. В окрестности бесконечности имеем [math]\frac{\sin\pi x}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}\sim\frac{\sin\pi x}{x^{\alpha+\beta}}[/math] откуда следует абсолютная сходимость при [math]\alpha+\beta>1[/math]. При [math]0<\alpha+\beta\leqslant1[/math] интеграл сходится условно (сходимость устанавливается по признаку Дирихле, а расходимость интеграла от модуля с помощью стандартного приёма с неравенством [math]|\sin\pi x|\geqslant\sin^2\pi x=\frac12-\frac12\cos2\pi x[/math]). Наконец, при [math]\alpha+\beta\leqslant0[/math] интеграл расходится по критерию Коши. Итого: сходится абсолютно при [math]\alpha<2,\alpha+\beta>1[/math], сходится условно [math]\alpha<2, 0<\alpha+\beta\leqslant1[/math], расходится при всех остальных. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Alexdemath, zaplot |
||
| zaplot |
|
|
|
Спасибо большое
Почитаю про Абеля и Дирихле и критерий Коши. |
||
| Вернуться к началу | ||
| zaplot |
|
|
|
Единственное, что при [math]0 < \alpha + \beta < 1[/math] не подходит под признак Дирихле [math]\boldsymbol{G} ' = \frac{ x^{1- \alpha - \beta} }{ 1- \alpha - \beta }[/math] что явно > 0
Последний раз редактировалось zaplot 30 сен 2013, 18:35, всего редактировалось 2 раз(а). |
||
| Вернуться к началу | ||
| zaplot |
|
|
|
[math]\sqrt{a}[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
zaplot писал(а): [math]\boldsymbol{G} ' = \frac{ x^{1- \alpha - \beta} }{ 1- \alpha - \beta }[/math] что явно > 0 Вы выписали интеграл от [math]x^{-(\alpha+\beta)}[/math], а не производную. Кроме того, для знакопеременных функций признаки сравнения не работают (работают только для исследования на абсолютную сходимость), поэтому по Дирихле нужно исследовать исходный интеграл, а не [math]\frac{\sin\pi x}{x^{\alpha+\beta}}[/math]. |
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Исследование интеграла на сходимость
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
363 |
13 мар 2017, 23:25 |
|
|
Исследование интеграла на сходимость
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
297 |
08 авг 2018, 09:50 |
|
|
Исследование несобственного интеграла на сходимость
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
277 |
22 ноя 2019, 12:38 |
|
|
Исследование интеграла на равномерную сходимость
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
446 |
22 ноя 2017, 22:54 |
|
|
Исследование на сходимость
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
291 |
27 апр 2016, 16:26 |
|
|
Исследование на сходимость
в форуме Ряды |
2 |
268 |
16 июн 2017, 16:48 |
|
|
Исследование на сходимость
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
0 |
269 |
08 июн 2020, 08:06 |
|
|
Исследование на сходимость ряда
в форуме Ряды |
3 |
361 |
06 май 2018, 21:26 |
|
|
Исследование ряда на сходимость
в форуме Ряды |
4 |
502 |
09 июл 2018, 11:52 |
|
|
Исследование на сходимость ряда
в форуме Ряды |
1 |
267 |
04 фев 2017, 12:12 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |