Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26558
Страница 1 из 1

Автор:  Games [ 29 сен 2013, 08:38 ]
Заголовок сообщения:  Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))

С помощью теоремы о замене переменной в определённом интеграле и формулы Ньютона-Лейбница вычислить:

Изображение

Автор:  Human [ 29 сен 2013, 13:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))

Замена [math]t=\operatorname{tg}x[/math] приводит к несобственному интегралу от рациональной функции.

Автор:  Games [ 29 сен 2013, 14:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))

Human писал(а):
Замена [math]t=\operatorname{tg}x[/math] приводит к несобственному интегралу от рациональной функции.

Я так примерно и думал. Но, до конца решить всё равно не могу.

Т.е. воспользуемся формулой [math]\operatorname{sin}^2(x) = \frac{\operatorname{tg}^2(x)}{1 + \operatorname{tg}^2(x)}[/math]

Далее произведём замену [math]t=\operatorname{tg}x[/math].

Получим интеграл:

[math]\int_{0}^{\frac{Pi}{2}} \frac{\frac{dx}{1 + t^2}}{1 + \frac{t^2}{{1+t^2}}}[/math]

Что делать дальше?

Автор:  mad_math [ 29 сен 2013, 14:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))

А можно сделать замену [math]t=\operatorname{ctg}x,\,dt=-\frac{dx}{\sin^2{x}}[/math]

Автор:  Games [ 29 сен 2013, 14:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))

mad_math писал(а):
А можно сделать замену [math]t=\operatorname{ctg}x,\,dt=-\frac{dx}{\sin^2{x}}[/math]

Это ещё больше меня запутает.

Можете подсказать решение [math]\int_{0}^{\frac{Pi}{2}} \frac{\frac{dx}{1 + t^2}}{1 + \frac{t^2}{{1+t^2}}}[/math], что делать дальше? И какой ответ?

Заранее, спасибо.

Автор:  mad_math [ 29 сен 2013, 15:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))

[math]\int\frac{dx}{1+\sin^2{x}}=\left[t=\operatorname{ctg}x,\,dt=-\frac{dx}{\sin^2{x}}\right]=-\int\frac{dt}{(1+t^2)\left(1 +\frac{1}{1+t^2}\right)}=-\int\frac{dt}{t^2+1+1}=-\int\frac{dt}{t^2+2}=...[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/