| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x)) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26558 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Games [ 29 сен 2013, 08:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x)) |
С помощью теоремы о замене переменной в определённом интеграле и формулы Ньютона-Лейбница вычислить:
|
|
| Автор: | Human [ 29 сен 2013, 13:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x)) |
Замена [math]t=\operatorname{tg}x[/math] приводит к несобственному интегралу от рациональной функции. |
|
| Автор: | Games [ 29 сен 2013, 14:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x)) |
Human писал(а): Замена [math]t=\operatorname{tg}x[/math] приводит к несобственному интегралу от рациональной функции. Я так примерно и думал. Но, до конца решить всё равно не могу. Т.е. воспользуемся формулой [math]\operatorname{sin}^2(x) = \frac{\operatorname{tg}^2(x)}{1 + \operatorname{tg}^2(x)}[/math] Далее произведём замену [math]t=\operatorname{tg}x[/math]. Получим интеграл: [math]\int_{0}^{\frac{Pi}{2}} \frac{\frac{dx}{1 + t^2}}{1 + \frac{t^2}{{1+t^2}}}[/math] Что делать дальше? |
|
| Автор: | mad_math [ 29 сен 2013, 14:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x)) |
А можно сделать замену [math]t=\operatorname{ctg}x,\,dt=-\frac{dx}{\sin^2{x}}[/math] |
|
| Автор: | Games [ 29 сен 2013, 14:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x)) |
mad_math писал(а): А можно сделать замену [math]t=\operatorname{ctg}x,\,dt=-\frac{dx}{\sin^2{x}}[/math] Это ещё больше меня запутает. Можете подсказать решение [math]\int_{0}^{\frac{Pi}{2}} \frac{\frac{dx}{1 + t^2}}{1 + \frac{t^2}{{1+t^2}}}[/math], что делать дальше? И какой ответ? Заранее, спасибо. |
|
| Автор: | mad_math [ 29 сен 2013, 15:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x)) |
[math]\int\frac{dx}{1+\sin^2{x}}=\left[t=\operatorname{ctg}x,\,dt=-\frac{dx}{\sin^2{x}}\right]=-\int\frac{dt}{(1+t^2)\left(1 +\frac{1}{1+t^2}\right)}=-\int\frac{dt}{t^2+1+1}=-\int\frac{dt}{t^2+2}=...[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|