Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))
СообщениеДобавлено: 29 сен 2013, 08:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 сен 2013, 08:33
Сообщений: 16
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С помощью теоремы о замене переменной в определённом интеграле и формулы Ньютона-Лейбница вычислить:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))
СообщениеДобавлено: 29 сен 2013, 13:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Замена [math]t=\operatorname{tg}x[/math] приводит к несобственному интегралу от рациональной функции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))
СообщениеДобавлено: 29 сен 2013, 14:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 сен 2013, 08:33
Сообщений: 16
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Замена [math]t=\operatorname{tg}x[/math] приводит к несобственному интегралу от рациональной функции.

Я так примерно и думал. Но, до конца решить всё равно не могу.

Т.е. воспользуемся формулой [math]\operatorname{sin}^2(x) = \frac{\operatorname{tg}^2(x)}{1 + \operatorname{tg}^2(x)}[/math]

Далее произведём замену [math]t=\operatorname{tg}x[/math].

Получим интеграл:

[math]\int_{0}^{\frac{Pi}{2}} \frac{\frac{dx}{1 + t^2}}{1 + \frac{t^2}{{1+t^2}}}[/math]

Что делать дальше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))
СообщениеДобавлено: 29 сен 2013, 14:20 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А можно сделать замену [math]t=\operatorname{ctg}x,\,dt=-\frac{dx}{\sin^2{x}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))
СообщениеДобавлено: 29 сен 2013, 14:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 сен 2013, 08:33
Сообщений: 16
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
А можно сделать замену [math]t=\operatorname{ctg}x,\,dt=-\frac{dx}{\sin^2{x}}[/math]

Это ещё больше меня запутает.

Можете подсказать решение [math]\int_{0}^{\frac{Pi}{2}} \frac{\frac{dx}{1 + t^2}}{1 + \frac{t^2}{{1+t^2}}}[/math], что делать дальше? И какой ответ?

Заранее, спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определённый интеграл: dx / (1 + Sin^2(x))
СообщениеДобавлено: 29 сен 2013, 15:11 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int\frac{dx}{1+\sin^2{x}}=\left[t=\operatorname{ctg}x,\,dt=-\frac{dx}{\sin^2{x}}\right]=-\int\frac{dt}{(1+t^2)\left(1 +\frac{1}{1+t^2}\right)}=-\int\frac{dt}{t^2+1+1}=-\int\frac{dt}{t^2+2}=...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Games
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить определенный и не определенный интеграл

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Kikfas

1

443

05 май 2015, 16:57

Определенный интеграл и несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

VxVxN

11

1024

14 апр 2015, 20:58

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Sinner12

1

265

28 дек 2018, 15:20

Определённый интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Potolol

1

419

04 май 2015, 19:26

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

alla1501

2

410

29 апр 2016, 12:05

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Sinner12

1

239

27 дек 2018, 21:29

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

AleksandrKuz

2

305

10 янв 2016, 13:49

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Shamil

4

305

20 мар 2019, 18:26

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Vovan

8

347

18 янв 2016, 14:31

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Alatte

1

212

24 мар 2016, 22:05


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved