| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислит несобственный интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26381 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | studak [ 18 сен 2013, 22:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислит несобственный интеграл |
Вычислить интеграл, используя эйлеровы интегралы
|
|
| Автор: | Alexander N [ 19 сен 2013, 09:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислит несобственный интеграл |
[math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^m(x) cos(mx) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^m (\frac{e^{imx}+e^{-imx}}{2})dx =[/math] [math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}dx 2^{-(m+1)}\sum^{m}_{n=0}{[C^n_m e^{ix2n}+C^n_m e^{ix(2n-2m)}]}=[/math] [math]2^{-(m+1)}[\sum^{m}_{n=1}{C^n_m \frac{e^{ix2n}}{2ni}|^{\frac{\pi}{2}}_0 +\frac{\pi}{2}+ \sum^{m-1}_{n=0}{C^n_m \frac{e^{ix(2n-2m)}}{2i(n-m)}}|^{\frac{\pi}{2}}_0+\frac{\pi}{2}}=[/math] [math]2^{-(m+1)}[\pi+\sum^{m}_{n=1}{C^n_m \frac{e^{i\pi n}-1}{2ni}}- \sum^{1}_{k=m}{C^k_m \frac{e^{i\pi k}-1}{2ik}}]=[/math] [math]2^{-(m+1)}[\pi+\sum^{m}_{n=1}{C^n_m \frac{sin(\pi n)}{n}}]= \frac{\pi}{2^{m+1}}[/math] |
|
| Автор: | Alexander N [ 19 сен 2013, 11:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислит несобственный интеграл |
Вообще то лучше немного по другому [math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^m(x) cos(mx) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^m (\frac{e^{imx}+e^{-imx}}{2})dx =[/math] [math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}dx 2^{-(m+1)}\sum^{m}_{n=0}{[C^n_m e^{ix2n}+C^n_m e^{ix(2n-2m)}]}=[/math] [math]\int_0^{\pi}dx 2^{-(m+2)}[\sum^{m}_{n=0}{C^n_m e^{ixn}}+\sum^0_{k=m}{C^k_m e^{-ixk}}]=\int_0^{\pi}dx 2^{-(m+1)}\sum^{m}_{n=0}{C^n_m cos(xn)}=2^{-(m+1)}\sum^m_{n=0}{C^n_m \frac{sin(n\pi)}{n}}=\frac{\pi}{2^{m+1}}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|