Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислит несобственный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26381
Страница 1 из 1

Автор:  studak [ 18 сен 2013, 22:29 ]
Заголовок сообщения:  Вычислит несобственный интеграл

Вычислить интеграл, используя эйлеровы интегралы
Изображение

Автор:  Alexander N [ 19 сен 2013, 09:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислит несобственный интеграл

[math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^m(x) cos(mx) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^m (\frac{e^{imx}+e^{-imx}}{2})dx =[/math]

[math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}dx 2^{-(m+1)}\sum^{m}_{n=0}{[C^n_m e^{ix2n}+C^n_m e^{ix(2n-2m)}]}=[/math]

[math]2^{-(m+1)}[\sum^{m}_{n=1}{C^n_m \frac{e^{ix2n}}{2ni}|^{\frac{\pi}{2}}_0 +\frac{\pi}{2}+ \sum^{m-1}_{n=0}{C^n_m \frac{e^{ix(2n-2m)}}{2i(n-m)}}|^{\frac{\pi}{2}}_0+\frac{\pi}{2}}=[/math]

[math]2^{-(m+1)}[\pi+\sum^{m}_{n=1}{C^n_m \frac{e^{i\pi n}-1}{2ni}}- \sum^{1}_{k=m}{C^k_m \frac{e^{i\pi k}-1}{2ik}}]=[/math]

[math]2^{-(m+1)}[\pi+\sum^{m}_{n=1}{C^n_m \frac{sin(\pi n)}{n}}]= \frac{\pi}{2^{m+1}}[/math]

Автор:  Alexander N [ 19 сен 2013, 11:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислит несобственный интеграл

Вообще то лучше немного по другому
[math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^m(x) cos(mx) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^m (\frac{e^{imx}+e^{-imx}}{2})dx =[/math]

[math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}dx 2^{-(m+1)}\sum^{m}_{n=0}{[C^n_m e^{ix2n}+C^n_m e^{ix(2n-2m)}]}=[/math]

[math]\int_0^{\pi}dx 2^{-(m+2)}[\sum^{m}_{n=0}{C^n_m e^{ixn}}+\sum^0_{k=m}{C^k_m e^{-ixk}}]=\int_0^{\pi}dx 2^{-(m+1)}\sum^{m}_{n=0}{C^n_m cos(xn)}=2^{-(m+1)}\sum^m_{n=0}{C^n_m \frac{sin(n\pi)}{n}}=\frac{\pi}{2^{m+1}}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/