Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Несобственный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26290
Страница 1 из 1

Автор:  studak [ 13 сен 2013, 23:32 ]
Заголовок сообщения:  Несобственный интеграл

Изображение
"В лоб" не колется,расходиться не должен,подскажите хотя бы идею решения

Автор:  Alexander N [ 14 сен 2013, 13:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

[math]\int_0^\infty \frac{e^{ikx}-1-iksinx}{x^2}dx = i\int_0^\infty \frac{sinkx-ksinx}{x^2}dx - \int_0^\infty\frac{2sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2}dx[/math]

[math]\frac{d}{dk}\int_0^\infty\frac{2sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2}dx = \int_0^\infty\frac{sinkx}{x}dx = \int_0^\infty\frac{sint}{t}dt =I[/math]

Посмотрите чему равен этот стандартный интеграл - кажется I=1, отсюда [math]\int_0^\infty\frac{2sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2}dx =kI[/math]

[math]\int_0^\infty \frac{sinkx-ksinx}{x^2}dx =-[\frac{1}{x}(sinkx-ksinx)]_0^\infty+k\int_0^\infty \frac{coskx-cosx}{x}dx=[/math]

[math]0 + k[\int_0^\infty \frac{cost}{t}dt - \int_0^\infty \frac{cosx}{x}dx]=0[/math]

Окончательный ответ [math]\int_0^\infty \frac{e^{ikx}-1-iksinx}{x^2}dx=kI[/math]

Автор:  studak [ 19 сен 2013, 21:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

[math]I= \frac{\pi}{2}[/math] -интеграл Дирихле.Косинусы в конце считаются по 2й теореме Фруллани, окончательный ответ

[math]- \frac{\pi k}{2}-ik\ln{k}[/math].Все ок в общем)

Автор:  Alexander N [ 19 сен 2013, 21:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

studak писал(а):
[math]I= \frac{\pi}{2}[/math] -интеграл Дирихле.Косинусы в конце считаются по 2й теореме Фруллани, окончательный ответ

[math]- \frac{\pi k}{2}-ik\ln{k}[/math].Все ок в общем)

Так я с косинусами в конце лопухнулся - неакуратно преобразовал что ли?
Кстати про вторую теорему Фруллани никогда не слышал. Ссылочку не дадите на литературу?
А формула Фруллани - помню - зверски крутой интеграл [math]\int^{\infty}_0 \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=f(0)ln[\frac{b}{a}][/math]

Автор:  Human [ 20 сен 2013, 14:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Alexander N писал(а):
Так я с косинусами в конце лопухнулся - неакуратно преобразовал что ли?


Интеграл [math]\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos x}x\,dx[/math] расходится, так что разность

[math]\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos t}t\,dt-\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos x}x\,dx[/math]

вообще говоря, не определена. Раскрытие неопределённости как раз и происходит с помощью формулы Фруллани.

Автор:  Human [ 20 сен 2013, 14:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Alexander N писал(а):
Кстати про вторую теорему Фруллани никогда не слышал. Ссылочку не дадите на литературу?
А формула Фруллани - помню - зверски крутой интеграл [math]\int^{\infty}_0%20\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=f(0)ln[\frac{b}{a}][/math]


Это она и есть, для её выполнения требуется непрерывность функции [math]f(x)[/math] на [math][0;+\infty)[/math] и сходимость интеграла [math]\int\limits_{\varepsilon}^{\infty}\frac{f(x)}x\,dx[/math] для каждого [math]\varepsilon>0[/math].

Автор:  Alexander N [ 20 сен 2013, 23:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Эх Для изучения математики сейчас полная лафа - в интернете все есть, не то что раньше
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0% ... B%E0%ED%E8

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/