| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Несобственный интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26290 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | studak [ 13 сен 2013, 23:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Несобственный интеграл |
![]() "В лоб" не колется,расходиться не должен,подскажите хотя бы идею решения |
|
| Автор: | Alexander N [ 14 сен 2013, 13:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл |
[math]\int_0^\infty \frac{e^{ikx}-1-iksinx}{x^2}dx = i\int_0^\infty \frac{sinkx-ksinx}{x^2}dx - \int_0^\infty\frac{2sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2}dx[/math] [math]\frac{d}{dk}\int_0^\infty\frac{2sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2}dx = \int_0^\infty\frac{sinkx}{x}dx = \int_0^\infty\frac{sint}{t}dt =I[/math] Посмотрите чему равен этот стандартный интеграл - кажется I=1, отсюда [math]\int_0^\infty\frac{2sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2}dx =kI[/math] [math]\int_0^\infty \frac{sinkx-ksinx}{x^2}dx =-[\frac{1}{x}(sinkx-ksinx)]_0^\infty+k\int_0^\infty \frac{coskx-cosx}{x}dx=[/math] [math]0 + k[\int_0^\infty \frac{cost}{t}dt - \int_0^\infty \frac{cosx}{x}dx]=0[/math] Окончательный ответ [math]\int_0^\infty \frac{e^{ikx}-1-iksinx}{x^2}dx=kI[/math] |
|
| Автор: | studak [ 19 сен 2013, 21:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл |
[math]I= \frac{\pi}{2}[/math] -интеграл Дирихле.Косинусы в конце считаются по 2й теореме Фруллани, окончательный ответ [math]- \frac{\pi k}{2}-ik\ln{k}[/math].Все ок в общем) |
|
| Автор: | Alexander N [ 19 сен 2013, 21:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл |
studak писал(а): [math]I= \frac{\pi}{2}[/math] -интеграл Дирихле.Косинусы в конце считаются по 2й теореме Фруллани, окончательный ответ [math]- \frac{\pi k}{2}-ik\ln{k}[/math].Все ок в общем) Так я с косинусами в конце лопухнулся - неакуратно преобразовал что ли? Кстати про вторую теорему Фруллани никогда не слышал. Ссылочку не дадите на литературу? А формула Фруллани - помню - зверски крутой интеграл [math]\int^{\infty}_0 \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=f(0)ln[\frac{b}{a}][/math] |
|
| Автор: | Human [ 20 сен 2013, 14:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл |
Alexander N писал(а): Так я с косинусами в конце лопухнулся - неакуратно преобразовал что ли? Интеграл [math]\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos x}x\,dx[/math] расходится, так что разность [math]\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos t}t\,dt-\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos x}x\,dx[/math] вообще говоря, не определена. Раскрытие неопределённости как раз и происходит с помощью формулы Фруллани. |
|
| Автор: | Human [ 20 сен 2013, 14:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл |
Alexander N писал(а): Кстати про вторую теорему Фруллани никогда не слышал. Ссылочку не дадите на литературу? А формула Фруллани - помню - зверски крутой интеграл [math]\int^{\infty}_0%20\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=f(0)ln[\frac{b}{a}][/math] Это она и есть, для её выполнения требуется непрерывность функции [math]f(x)[/math] на [math][0;+\infty)[/math] и сходимость интеграла [math]\int\limits_{\varepsilon}^{\infty}\frac{f(x)}x\,dx[/math] для каждого [math]\varepsilon>0[/math]. |
|
| Автор: | Alexander N [ 20 сен 2013, 23:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл |
Эх Для изучения математики сейчас полная лафа - в интернете все есть, не то что раньше http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0% ... B%E0%ED%E8 |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|