Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26079
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 30 авг 2013, 07:27 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл

[math]\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{1+n}{n}}\frac{\tan^{-1}(nx)}{\sin^{-1}(nx)}dx[/math]

where [math]\tan^{-1}(nx) =[/math] arc tan(nx) and [math]\sin^{-1}(nx) =[/math] arc sin(nx)

Автор:  Prokop [ 30 авг 2013, 12:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

What is the domain of the function
[math]\arcsin \left( x \right)[/math]?

Автор:  jagdish [ 03 окт 2013, 07:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Sorry Prokop, actually original question is

[math]\displaystyle n^2 \cdot \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\frac{\tan^{-1}(nx)}{\sin^{-1}(nx)}dx =[/math]

Автор:  Prokop [ 03 окт 2013, 09:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Let [math]nx=t[/math]. Then
[math]A = \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}n^2 \int\limits_{\frac{1}{{n + 1}}}^{\frac{1}{n}}{\frac{{\tan ^{- 1}nx}}{{\sin ^{- 1}nx}}dx}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}n\int\limits_{\frac{n}{{n + 1}}}^1{\frac{{\tan ^{- 1}t}}{{\sin ^{- 1}t}}dt}[/math]
We set [math]\lambda = \frac{n}{{n + 1}[/math]. Then, by L'Hospital rule we obtain
[math]A = \mathop{\lim}\limits_{\lambda \to 1 - 0}\frac{\lambda}{{1 - \lambda}}\int\limits_\lambda ^1{\frac{{\tan ^{- 1}t}}{{\sin ^{- 1}t}}dt}= \mathop{\lim}\limits_{\lambda \to 1 - 0}\frac{1}{{1 - \lambda}}\int\limits_\lambda ^1{\frac{{\tan ^{- 1}t}}{{\sin ^{- 1}t}}dt}= \mathop{\lim}\limits_{\lambda \to 1 - 0}\frac{{\tan ^{- 1}\lambda}}{{\sin ^{- 1}\lambda}}= \frac{1}{2}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/