| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26079 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | jagdish [ 30 авг 2013, 07:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Интеграл |
[math]\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{1+n}{n}}\frac{\tan^{-1}(nx)}{\sin^{-1}(nx)}dx[/math] where [math]\tan^{-1}(nx) =[/math] arc tan(nx) and [math]\sin^{-1}(nx) =[/math] arc sin(nx) |
|
| Автор: | Prokop [ 30 авг 2013, 12:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
What is the domain of the function [math]\arcsin \left( x \right)[/math]? |
|
| Автор: | jagdish [ 03 окт 2013, 07:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Sorry Prokop, actually original question is [math]\displaystyle n^2 \cdot \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\frac{\tan^{-1}(nx)}{\sin^{-1}(nx)}dx =[/math] |
|
| Автор: | Prokop [ 03 окт 2013, 09:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Let [math]nx=t[/math]. Then [math]A = \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}n^2 \int\limits_{\frac{1}{{n + 1}}}^{\frac{1}{n}}{\frac{{\tan ^{- 1}nx}}{{\sin ^{- 1}nx}}dx}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}n\int\limits_{\frac{n}{{n + 1}}}^1{\frac{{\tan ^{- 1}t}}{{\sin ^{- 1}t}}dt}[/math] We set [math]\lambda = \frac{n}{{n + 1}[/math]. Then, by L'Hospital rule we obtain [math]A = \mathop{\lim}\limits_{\lambda \to 1 - 0}\frac{\lambda}{{1 - \lambda}}\int\limits_\lambda ^1{\frac{{\tan ^{- 1}t}}{{\sin ^{- 1}t}}dt}= \mathop{\lim}\limits_{\lambda \to 1 - 0}\frac{1}{{1 - \lambda}}\int\limits_\lambda ^1{\frac{{\tan ^{- 1}t}}{{\sin ^{- 1}t}}dt}= \mathop{\lim}\limits_{\lambda \to 1 - 0}\frac{{\tan ^{- 1}\lambda}}{{\sin ^{- 1}\lambda}}= \frac{1}{2}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|