Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Подскажте как получить одно уравнение из нескольких прямых
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=26025
Страница 2 из 2

Автор:  vvvv [ 25 авг 2013, 10:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подскажте как получить одно уравнение из нескольких прямых

Выполнил расчет.Программа ваша выдала верный результат, он совпадает с моим.
Свой расчет прилагаю. См. картинку.
Изображение

Автор:  Hagrael [ 25 авг 2013, 23:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подскажте как получить одно уравнение из нескольких прямых

U6astik, вот как я находил объем [math]V[/math] для произвольной камеры сгорания (на рисунке изображен вид фигуры сверху, пунктирная линия означает перегибы):
Из рисунка видно, что [math]V=2V_0[/math], а
[math]V_0=\int_{0}^{D}S(x)dx=\int_{0}^{D}h(x)*\sqrt{R^2-x^2}dx[/math], где [math]D[/math] - диаметр окружности. Так вот, этот интеграл можно разбить на 3 части: [math]V_0=\int_{0}^{x_1}h(x)\sqrt{R^2-x^2}dx+\int_{x_1}^{x_2}h(x)\sqrt{R^2-x^2}dx+\int_{x_2}^{D}h(x)\sqrt{R^2-x^2}[/math].
Зачем мы его так разбили? А затем, что функция [math]h(x)[/math], то есть высота этой фигуры будет на этих 3-х участках меняться по-разному. А именно
[math]h(x)=\begin{bmatrix}k_1x, && x \in [0; x_1]\\H, && x \in [x_1; x_2]\\ H-k_2(x-x_2), && x \in [x_2; D]\end{matrix}[/math].
Так что [math]V_0=\int_{0}^{x_1}k_1x\sqrt{R^2-x^2}dx+\int_{x_1}^{x_2}H\sqrt{R^2-x^2}dx+\int_{x_2}^{D}(H-k_2(x-x_2))\sqrt{R^2-x^2}dx =[/math]
[math]=k_1\int_{0}^{x_1}x\sqrt{R^2-x^2}dx+H\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{R^2-x^2}dx+\int_{x_2}^{D}H\sqrt{R^2-x^2}dx-\int_{x_2}^{D}k_2x\sqrt{R^2-x^2}dx+\int_{x_2}^{D}k_2x_2\sqrt{R^2-x^2}dx =[/math]
[math]=k_1\int_{0}^{x_1}x\sqrt{R^2-x^2}dx+H\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{R^2-x^2}dx+H\int_{x_2}^{D}\sqrt{R^2-x^2}dx-k_2\int_{x_2}^{D}x\sqrt{R^2-x^2}dx+k_2x_2\int_{x_2}^{D}\sqrt{R^2-x^2}dx[/math].
Далее нам остается только преобразовать каждый из интегралов :) После преобразования получится, что
[math]V_0 = k_1*(-\frac{1}{3})(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}| \begin{matrix}x_1\\0\end{matrix}+H*(\frac{x\sqrt{R^2-x^2}}{2}+\frac{R^2}{2}\arcsin(\frac{x}{R}))|\begin{matrix}D\\x_1\end{matrix}-k_2*(-\frac{1}{3})(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}| \begin{matrix}D\\x_2\end{matrix}+k_2x_2*(\frac{x\sqrt{R^2-x^2}}{2}+\frac{R^2}{2}\arcsin(\frac{x}{R}))|\begin{matrix}D\\x_2\end{matrix}[/math].
И наконец получаем, что [math]V_0 = k_1*(-\frac{1}{3})(R^2-x_1^2)^{\frac{3}{2}}+H*(\frac{x\sqrt{R^2-D^2}}{2}+\frac{R^2}{2}\arcsin(\frac{D}{R})-\frac{x\sqrt{R^2-x_1^2}}{2}-\frac{R^2}{2}\arcsin(\frac{x_1}{R}))-k_2*(-\frac{1}{3})((R^2-D^2)^{\frac{3}{2}}-(R^2-x_2^2)^{\frac{3}{2}})+[/math]
[math]+k_2x_2*(\frac{x\sqrt{R^2-D^2}}{2}+\frac{R^2}{2}\arcsin(\frac{D}{R})-\frac{x\sqrt{R^2-x_2^2}}{2}-\frac{R^2}{2}\arcsin(\frac{x_2}{R}))[/math].
Теперь по этой формуле мы можем найти [math]V_0[/math], а затем и [math]V=2V_0[/math]. Согласно моему решению все так :) Сейчас или завтра попробую вычислить ваш конкретный случай :)

Изображение

Автор:  Hagrael [ 25 авг 2013, 23:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подскажте как получить одно уравнение из нескольких прямых

Ого, только что заметил, что у меня есть выражение [math]\sqrt{R^2-D^2}[/math] :D1 А еще [math]\arcsin(\frac{D}{R})[/math] :D1 Да, это странно :)

Автор:  Hagrael [ 25 авг 2013, 23:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подскажте как получить одно уравнение из нескольких прямых

О, я понял, в чем моя ошибка. Умножать нужно было не на [math]\sqrt{R^2-x^2}[/math], а на [math]\sqrt{R^2-(x-R)^2}[/math]

Автор:  Hagrael [ 26 авг 2013, 07:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подскажте как получить одно уравнение из нескольких прямых

В общем, да, ошибка была в этом. Но алгоритм все равно рабочий. Просто в первых строках, в тех, где интегралы еще не взяты, нужно заменить [math]\sqrt{R^2-x^2}[/math] на [math]\sqrt{R^2-(x-R)^2}[/math]. А далее делать с интегралами то же, что делалось раньше. Единственное, эти интегралы взять будет сложнее, но все-таки можно.

Автор:  vvvv [ 26 авг 2013, 10:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подскажте как получить одно уравнение из нескольких прямых

Hagrael, так подсчитайте объем камеры для конкретного случая, по рисунку ТС.

Автор:  U6astik [ 31 авг 2013, 21:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подскажте как получить одно уравнение из нескольких прямых

vvvv
Hagrael

Большое вам спасибо!
Извините, что не объявлялся так долго - никак не мог добраться до компьютера.
vvvv, мои вычисления и результаты совпадают с вашими, большое спасибо за помощь.
Hagrael, это как раз то, что мне нужно! :) Спасибо, пойду вычислять эти ужасные интегралы

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/