Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти объем тела ограниченного поверхностями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=25983
Страница 1 из 1

Автор:  Klybnu4ka [ 20 авг 2013, 11:47 ]
Заголовок сообщения:  Найти объем тела ограниченного поверхностями

Прошу помогите решить с подробным решением, если можно.

Найти объем тела ограниченного поверхностями

[math]x+y=2,\quad x=0,\quad y=0,\quad z=\frac{3}{4}(x^2+y^2),\quad z=3[/math]

Автор:  Alexdemath [ 20 авг 2013, 15:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела ограниченного поверхностями

Область, образованная данными поверхностями

[math]T = \left\{0 \leqslant x \leqslant 2,~ 0 \leqslant y \leqslant 2 - x,~ \frac{3}{4}(x^2+y^2) \leqslant z \leqslant 3\right\}[/math]

Объём тела

[math]\begin{aligned}V &= \iiint\limits_{T}dxdydz = \int\limits_0^2 dx \int\limits_0^{2 - x}dy \int\limits_{\frac{3}{4}(x^2+y^2)}^3 dz = \int\limits_0^2{dx}\int\limits_0^{2-x}\!\left[3 - \frac{3}{4}(x^2 + y^2) \right]\!dy = \\ &= \frac{3}{4}\int\limits_0^2{dx}\int\limits_0^{2 - x}(4 - x^2- y^2)dy = \frac{3}{4}\int\limits_0^2{dx}\left.{\left[{(4 -{x^2})y - \frac{1}{3}y^3}\right]}\right|_{y = 0}^{y = 2 - x}= \\ &= \frac{3}{4}\int\limits_0^2{\left[{(4 -{x^2})(2 - x) - \frac{1}{3}{{(2 - x)}^3}}\right]dx}= \\ &= \frac{1}{4}\int\limits_0^2 \Bigl[3(x^3- 2x^2- 4x + 8) - (8 - 12x + 6x^2-x^3)\Bigr]dx= \\ &= \frac{1}{4}\int\limits_0^2 (4x^3- 12x^2+ 16)\,dx= \int\limits_0^2 (x^3- 3x^2+ 4)\,dx= \\ &= \left.{\left(\frac{1}{4}x^4-x^3+ 4x\right)}\right|_0^2 = \frac{1}{4}\cdot 2^4-2^3+ 4 \cdot 2 = 4\end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/