Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Объем тела, ограниченного поверхностями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=25597
Страница 1 из 1

Автор:  ZMEJ [ 23 июн 2013, 23:47 ]
Заголовок сообщения:  Объем тела, ограниченного поверхностями

[math]{S_1}; {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1[/math] и [math]{S_2}; \sqrt {3{x^2} + 3{y^2}}[/math]

Автор:  SzaryWilk [ 24 июн 2013, 02:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями

Данное тело ограничено "снизу" конусом [math]z=\sqrt{3(x^2+y^2)}[/math], а "сверху" сферой [math]x^2+y^2+z^2=1[/math]. Сфера и конус пересекаются по кривой [math]x^2+y^2=\frac{1}{4}[/math] (Проверьте, пожалуйста).

Изображение


Поэтому объём равен

[math]|V|=\iint_D(\sqrt{1-(x^2+y^2)}-\sqrt{3(x^2+y^2)})dxdy[/math]

где [math]D[/math] - круг [math]x^2+y^2\leq\frac{1}{4}[/math]

Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам.

[math]x=r\cos\varphi[/math]
[math]y=r\sin\varphi[/math]
[math]dxdy= rdrd\varphi[/math]

[math]x^2+y^2=r^2[/math]

Область [math]D[/math] имеет вид [math]\{(r,\varphi) |\, r\in[0,\frac{1}{2}], \;\varphi \in[0,2\pi]\}[/math] и получаем

[math]|V|=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{1}{2}}(\sqrt{1-r^2} -\sqrt {3r^2})rdrd\varphi=[/math]

[math]2\pi\int_0^{\frac{1}{2}}(\sqrt{1-r^2} -\sqrt {3r^2})rdrd\varphi=...= \frac{1}{3}(2-\sqrt 3)\pi[/math]

Автор:  ZMEJ [ 24 июн 2013, 11:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями

Спасибо большое! Только у меня после подсчёта интеграла получилось [math]pi|3(2-sqrt(3)|2)[/math] / Во втором члене в скобках 1/2 вылезла

Автор:  SzaryWilk [ 24 июн 2013, 15:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями

Кошмар...Вы меня, бедняжку, заставляете вычислять интегралы... :angel:
[math]|V|=2\pi\Big(-\frac{1}{3}(1-r^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{\sqrt 3}{3}r^3\Big)\Big|_0^{\frac{1}{2}}=[/math]

[math]-\frac{2\pi}{3}\Big((1-\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}+\sqrt 3(\frac{1}{2})^3-1+0\Big)=[/math]

[math]-\frac{2\pi}{3}(\frac{3\sqrt 3}{8}+\frac{\sqrt 3}{8}-1\Big)=-\frac{2\pi}{3}(\frac{\sqrt 3}{2}-1)=\frac{\pi}{3}(2-\sqrt 3)[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/