| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Объем тела, ограниченного поверхностями http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=25597 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | ZMEJ [ 23 июн 2013, 23:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Объем тела, ограниченного поверхностями |
[math]{S_1}; {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1[/math] и [math]{S_2}; \sqrt {3{x^2} + 3{y^2}}[/math] |
|
| Автор: | SzaryWilk [ 24 июн 2013, 02:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела, ограниченного поверхностями |
Данное тело ограничено "снизу" конусом [math]z=\sqrt{3(x^2+y^2)}[/math], а "сверху" сферой [math]x^2+y^2+z^2=1[/math]. Сфера и конус пересекаются по кривой [math]x^2+y^2=\frac{1}{4}[/math] (Проверьте, пожалуйста). ![]() Поэтому объём равен [math]|V|=\iint_D(\sqrt{1-(x^2+y^2)}-\sqrt{3(x^2+y^2)})dxdy[/math] где [math]D[/math] - круг [math]x^2+y^2\leq\frac{1}{4}[/math] Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. [math]x=r\cos\varphi[/math] [math]y=r\sin\varphi[/math] [math]dxdy= rdrd\varphi[/math] [math]x^2+y^2=r^2[/math] Область [math]D[/math] имеет вид [math]\{(r,\varphi) |\, r\in[0,\frac{1}{2}], \;\varphi \in[0,2\pi]\}[/math] и получаем [math]|V|=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{1}{2}}(\sqrt{1-r^2} -\sqrt {3r^2})rdrd\varphi=[/math] [math]2\pi\int_0^{\frac{1}{2}}(\sqrt{1-r^2} -\sqrt {3r^2})rdrd\varphi=...= \frac{1}{3}(2-\sqrt 3)\pi[/math]
|
|
| Автор: | ZMEJ [ 24 июн 2013, 11:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела, ограниченного поверхностями |
Спасибо большое! Только у меня после подсчёта интеграла получилось [math]pi|3(2-sqrt(3)|2)[/math] / Во втором члене в скобках 1/2 вылезла |
|
| Автор: | SzaryWilk [ 24 июн 2013, 15:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела, ограниченного поверхностями |
Кошмар...Вы меня, бедняжку, заставляете вычислять интегралы... [math]|V|=2\pi\Big(-\frac{1}{3}(1-r^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{\sqrt 3}{3}r^3\Big)\Big|_0^{\frac{1}{2}}=[/math] [math]-\frac{2\pi}{3}\Big((1-\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}+\sqrt 3(\frac{1}{2})^3-1+0\Big)=[/math] [math]-\frac{2\pi}{3}(\frac{3\sqrt 3}{8}+\frac{\sqrt 3}{8}-1\Big)=-\frac{2\pi}{3}(\frac{\sqrt 3}{2}-1)=\frac{\pi}{3}(2-\sqrt 3)[/math]
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|