Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить площади фигур, ограниченные линиями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=25558
Страница 1 из 1

Автор:  on746 [ 21 июн 2013, 14:52 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить площади фигур, ограниченные линиями

Изображение

Автор:  SzaryWilk [ 21 июн 2013, 18:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площади фигур, ограниченные линиями

Данная кривая симметрична относительно оси [math]0x[/math] и пересекает ось [math]0x[/math] в двух точках: [math]a=0[/math] и [math]b=1[/math]. Поэтому график представляет собой петлю при [math]x\in[0,1][/math]. Следовательно, площадь ограниченна петлей равна

[math]2\int_0^1\sqrt x|x-1|dx=2\int_0^1\sqrt x(1-x)dx=...=\frac{8}{15}[/math]

Автор:  Avgust [ 21 июн 2013, 23:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площади фигур, ограниченные линиями

Пример б). Он несложный, только вычисления большие. Если выразить из первого параметрического выражения [math]sin(t)[/math] и подставить во второе, то получим:

[math]y=\pm \frac{1}{64}\left [16-\big (4x \big )^{\frac 23} \right ]^{\frac 32}[/math]

График этой функции в пределах от [math]6\sqrt{3}[/math] до 16 таков:

Изображение

Площадь будет равна:

[math]S=\frac{2}{64}\int \limits_{6\sqrt{3}}^{16}\left [16-\big (4x \big )^{\frac 23} \right ]^{\frac 32}\, dx = \pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 0.54352[/math]

Но, конечно, через параметрические формы найти площадь намного проще. Я же получил верный ответ и это облегчает задание.

Автор:  SzaryWilk [ 22 июн 2013, 03:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площади фигур, ограниченные линиями

Ну что ж, решим и последнюю задачу. Похожий пример и формула здесь.
Данная кривая - кардиоида, Вы наверное не раз видели ее в чашке чая или кофе.

Изображение


Вычислим площадь этого "сердца"

[math]|A|=\frac{1}{2}}\int_0^{2\pi}(4(1-\cos\varphi))^2d\varphi =...= 24\pi[/math]

Изображение


P.S. Если в примере б) (Avgust, спасибо!) хотим вычислить площадь по формуле для параметрических кривых

[math]|A|=\int_{\alpha}^{\beta} y(t)x'(t)dt[/math]
,
томожем сделать так:
Для начала заметим, что так как [math]\sin[/math] и [math]\cos[/math] - периодические функции, то достаточно рассмотреть данную кривую на отрезке [math][0,2\pi][/math], а поскольку кривая симметрична относительно оси [math]0x[/math], то достаточно вычислить площадь части расположенной над осью [math]0x[/math], т.е. при [math]t\in[0,\pi][/math], а результат умножить на 2.

Изображение

Находим значение [math]t\in[0,\pi][/math], при которым данная кривая и прямая пересекаются: [math]t=\frac{\pi}{6}[/math]

и получаем

[math]|A|=2\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin^3t\cdot 3\cdot 16\cos^2t\sin t\,dt=96\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin^4t\cos^2t\,dt=...=\pi-\frac{3}{2}\sqrt 3[/math]

Автор:  on746 [ 22 июн 2013, 14:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площади фигур, ограниченные линиями

спасибо большое ребята

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/