Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Площадь фигуры
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=25510
Страница 1 из 1

Автор:  vc15nv [ 18 июн 2013, 19:21 ]
Заголовок сообщения:  Площадь фигуры

Здравствуйте, дорогие форумчане! Прошу Вашей помощи в решении следующих заданий.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: [math]\boldsymbol{x} ^{2} + \boldsymbol{y} ^{2} = 4 \boldsymbol{y} , 2 \boldsymbol{y} = \boldsymbol{x} ^{2}[/math]
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой: [math]\boldsymbol{r} = \frac{ 1 }{ 2 } +\sin{ \phi }[/math]

Спасибо!

Автор:  Andy [ 19 июн 2013, 07:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры

vc15nv
В первом задании нужно сначала преобразовать уравнение кривой [math]x^2+y^2=4y,[/math] чтобы получить представление о ней:
[math]x^2+y^2-4y=0,[/math]

[math]x^2+y^2-4y+4-4=0,[/math]

[math]x^2+(y-2)^2=2^2.[/math]

Теперь становится понятно, что кривая - окружность с радиусом [math]R=2.[/math] Её центр находится в точке [math](0;~2).[/math]

Снова преобразуем уравнение окружности:
[math](y-2)^2=4-x^2,[/math]

[math]y-2=\sqrt{4-x^2},[/math]

[math]y=2+\sqrt{4-x^2}.[/math]


Построив графики окружности и параболы, установим, что они пересекаются в точках [math](-2;~2)[/math] и [math](2;~2).[/math]

Обозначим [math]g(x)=2+\sqrt{4-x^2},~f(x)=\frac{x^2}{2}.[/math]

Чтобы решить задачу, Вам осталось воспользоваться формулой для площади
[math]S=\int\limits_{a}^{b}(g(x)-f(x))dx,[/math]

где [math]a=-2,~b=2[/math] - пределы изменения переменной [math]x.[/math]

В ходе вычислений Вам следует учесть, что
[math]\int\sqrt{c^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{c^2-x^2}+\frac{c^2}{2}\arcsin\frac{x}{c}+C.[/math]

Автор:  SzaryWilk [ 19 июн 2013, 15:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры

Andy писал(а):
В ходе вычислений Вам следует учесть, что
[math]\int\sqrt{c^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{c^2-x^2}+\frac{c^2}{2}\arcsin\frac{x}{c}+C.[/math]

Можно проще, если учтем, что интеграл [math]\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx[/math] равен площади полукруга радиусом 2, т. е. [math]2\pi[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/