Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти объем тела ограниченного поверхностями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=25219
Страница 1 из 1

Автор:  vladimir__markov [ 06 июн 2013, 17:56 ]
Заголовок сообщения:  Найти объем тела ограниченного поверхностями

Помогите, пожалуйста, посчитать объем
1)x^2+y^2=1 z=y z=0 y>или=0
2)z=x^2+y^2 z=1 z=3

Автор:  Alexdemath [ 06 июн 2013, 21:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела ограниченного поверхностями

vladimir__markov писал(а):
1)x^2+y^2=1 z=y z=0 y>или=0

С помощью тройного интеграла

Множество точек, ограниченных данными поверхностями

[math]T= \Bigl\{-1\leqslant x\leqslant 1,~ 0\leqslant y\leqslant \sqrt{1-x^2},~ 0\leqslant z\leqslant y\Bigr\}[/math]

Искомый объём

[math]V= \iiint\limits_{T}dxdydz= \int\limits_{-1}^{1}dx \int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}dy \int\limits_{0}^{y}dz= \int\limits_{-1}^{1}dx \int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}y\,dy= \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^{1}(1-x^2)dx= \ldots= \frac{2}{3}[/math]

Автор:  Alexdemath [ 07 июн 2013, 00:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела ограниченного поверхностями

vladimir__markov писал(а):
2) z=x^2+y^2, z=1, z=3

Как разность объёмов двух тел

[math]\begin{aligned}V&= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 3}(x^2+y^2)dxdy \int\limits_{0}^{3}dz- \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 1}(x^2+y^2)dxdy \int\limits_{0}^{1}dz= \\ &= 3\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 3}(x^2+y^2)dxdy- \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 1}(x^2+y^2)dxdy= \left\{\begin{gathered}x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi\end{gathered}\right\}=\\ &=3\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}}r^2\cdot r\,dr- \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{1}r^2\cdot r\,dr= 3\cdot2\pi\cdot \left.{\frac{r^4}{4}}\right|_{0}^{\sqrt{3}}- 2\pi\cdot \left.{\frac{r^4}{4}}\right|_{0}^{1}= \ldots\end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/