Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать сходимость несобственного интеграла sin(1/x)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=25179
Страница 1 из 1

Автор:  rawn [ 05 июн 2013, 17:31 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать сходимость несобственного интеграла sin(1/x)

Интеграл:
[math]\int\limits_{2}^{\infty } \sin{ \frac{ 1 }{ x } }\ }{d x}[/math]

Собственно при таких пределах несобственный интеграл ищется так:
[math]\int\limits_{2}^{\infty } \sin{ \frac{ 1 }{ x } }\ }{d x} = \lim_{b \to \infty} \int\limits_{2}^{b } \sin{ \frac{ 1 }{ x } }\ }{d x}[/math]

Подынтегральная функция [math]sin(\frac{ 1 }{ x })[/math] непрерывна на интервале, значит осталось найти интеграл.

Но такой интеграл найти не получается, пониманию что сходится он не будет, но как это доказать?

Автор:  jorki [ 05 июн 2013, 18:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать сходимость несобственного интеграла sin(1/x)

при x стремящимся к бесконечности sin(1/x) эквивалентен 1/x, который расходится

Автор:  Avgust [ 06 июн 2013, 07:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать сходимость несобственного интеграла sin(1/x)

[math]\int \sin \left (\frac 1x \right )\, dx=x\cdot \sin\left (\frac 1x \right )-Ci\left (\frac 1x \right )+C[/math]

Здесь [math]Ci\,[/math] - интегральный косинус. При [math]x=2[/math] он равен [math]-0.1777840788[/math],
при [math]x=\infty \,[/math] равен [math]-\infty[/math]

Изображение

Соответственно [math]x\cdot \sin\left (\frac 1x \right )[/math]:

[math]0.9588510772[/math]
[math]1[/math]

Поэтому определенный интеграл равен [math]+\infty[/math]

Автор:  rawn [ 07 июн 2013, 15:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать сходимость несобственного интеграла sin(1/x)

Благодарю, не очень тривиально) никогда не использовал интегральный косинус.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/