Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Теоретический вопрос
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=25178
Страница 1 из 1

Автор:  jorki [ 05 июн 2013, 17:04 ]
Заголовок сообщения:  Теоретический вопрос

Дана функция f(sin(x)), известно что она интегрируема на [-пи;пи], верно ли что функция f(x) обязана быть интегрируемой на [-1;1]?
Мне кажется что она не должна быть интегрируема, но не могу подобрать пример доказывающий мое предположение. Скорее всего в качестве f(x) нужно взять какую-то измененную функцию Дирихле.

Автор:  Human [ 06 июн 2013, 06:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретический вопрос

На самом деле функция [math]f(x)[/math] будет интегрируемой на отрезке [math][-1;1][/math].

Пусть [math]g(y)=f(\sin y),\ y\in\left[-\pi;\pi][/math]. Тогда [math]f(x)=g(\arcsin x),\ x\in[-1;1][/math]. Функция [math]g(y)[/math] интегрируема на отрезке [math][-\pi;\pi][/math], значит она интегрируема на отрезке [math]\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right][/math], а это по критерию Римана означает, что [math]g(y)[/math] ограничена и что для любого [math]\varepsilon>0[/math] существует такое разбиение [math]\tau=\{y_i\}_{i=0}^{\infty}[/math] отрезка [math]\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right][/math], что [math]S_{\tau}-s_{\tau}<\varepsilon[/math], где [math]S_{\tau}[/math] и [math]s_{\tau}[/math] - верхняя и нижняя суммы Дарбу, или

[math]\sum_{i=1}^n\left(\sup_{[y_{i-1};y_i]}g-\inf_{[y_{i-1};y_i]}g\right)(y_i-y_{i-1})<\varepsilon[/math]

Пусть [math]x_i=\sin y_i[/math]. Тогда, поскольку функция [math]\sin y[/math] непрерывна и строго возрастает на отрезке [math]\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right][/math], отрезок [math][x_{i-1};x_i][/math] взаимно однозначно сопоставляется с отрезком [math][y_{i-1};y_i][/math], поэтому с учётом равенства [math]f(x)=g(\arcsin x)[/math] получаем, что множество значений функции [math]f(x)[/math] на отрезке [math][x_{i-1};x_i][/math] совпадает со множеством значений функции [math]g(y)[/math] на отрезке [math][y_{i-1};y_i][/math], отсюда

[math]\sup_{[y_{i-1};y_i]}g=\sup_{[x_{i-1};x_i]}f,\ \inf_{[y_{i-1};y_i]}g=\inf_{[x_{i-1};x_i]}f[/math]

Кроме того, [math]\sin\left(-\frac{\pi}2\right)=-1,\ \sin\frac{\pi}2=1[/math], то есть множество точек [math]\{x_i\}_{i=0}^n[/math] есть разбиение [math]\tau_0[/math] отрезка [math][-1;1][/math]. В итоге

[math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}=\sum_{i=1}^n\left(\sup_{[x_{i-1};x_i]}f-\inf_{[x_{i-1};x_i]}f\right)(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^n\left(\sup_{[y_{i-1};y_i]}g-\inf_{[y_{i-1};y_i]}g\right)(\sin y_i-\sin y_{i-1})\leqslant\sum_{i=1}^n\left(\sup_{[y_{i-1};y_i]}g-\inf_{[y_{i-1};y_i]}g\right)(y_i-y_{i-1})<\varepsilon[/math]

(здесь я воспользовался известным неравенством [math]|\sin x-\sin y|\leqslant|x-y|[/math])

Итак, мы получили, что для любого [math]\varepsilon>0[/math] существует разбиение [math]\tau_0[/math] отрезка [math][-1;1][/math] такое, что [math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}<\varepsilon[/math], значит функция [math]f(x)[/math] интегрируема на отрезке [math][-1;1][/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/