Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
СообщениеДобавлено: 02 июн 2013, 18:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 мар 2013, 04:22
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вычислить объем тела, образованного вращение фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2, y=2-x^2, вокруг оси Oy.

Построил графики, знаю формулу для нахождения, определился с пределами интегрирования. Есдинственное не могу понять, как записать подынтегральное выражение:

[math]V= \pi \int\limits_{a}^{b} x^2 dy = \pi \int\limits_{0}^{2} (y-2-y) dy[/math]

Так будет правильно или нет? Подскажите, пожалуйста...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Oбъем тела, образованного вращением фигуры
СообщениеДобавлено: 02 июн 2013, 20:49 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Oбъем тела, образованного вращением фигуры


1.
Пусть функция [math]y=f(x)[/math] определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [math][a,b][/math], тогда график кривой на [math][a,b][/math], ось [math]OX[/math], прямые [math]x=a[/math], [math]x=b[/math] образуют криволинейную трапецию.
Oбъём тела, образованного вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси OX, равен

[math]|V|=\pi\int_a^b(f(x))^2 dx[/math]


2.
Пусть функция [math]f[/math] непрерывная на отрезке [math][a,b], \quad a\geq 0, \quad f(x)\geq 0 , x\in[a,b][/math].

Если криволинейная трапеция, ограниченная прямыми [math]x=a, x=b[/math], осью [math]OX[/math] и графиком функции [math]y=f(x)[/math], вращается вокруг оси [math]OY[/math], то объем тела вращения находится по формуле

[math]|V|=2\pi\int_a^bxf(x)dx[/math]


Пример
Вычислить объем тела, образованного вращение фигуры, ограниченной графиками функций [math]y=x^2[/math], [math]y=2-x^2[/math], вокруг оси [math]Oy[/math].

Изображение


Способ 1. Используем первую формулу. Для этого мы должны выразить [math]x[/math] через [math]y[/math]. Имеем

[math]x=\sqrt y,\quad y\geq 0, \quad x=\sqrt{2-y}\quad\quad y\in[0,2][/math]

Эти кривые пересекаются в точке [math](1,1)[/math]

Получаем

[math]|V|=\pi\int_0^1(\sqrt y)^2dy + \pi\int_1^2(\sqrt{2-y})^2dy = ...=\pi[/math]


Способ 2.
По второй формуле:

[math]|V|=2\pi\int_0^1(x(2-x) -x\cdot x^2)dx= ...= \pi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
olga_budilova
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Объем тела образованного вращением вокруг оси фигуры

в форуме Интегральное исчисление

Welzevull

3

581

18 дек 2016, 20:29

Найти объём тела,образованного вращением фигуры,вокруг ОУ

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

glad223

2

517

23 мар 2015, 01:24

Найти объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси

в форуме Интегральное исчисление

raiinc

1

300

17 ноя 2022, 18:08

Вычислить объем тела , образованного вращением вокруг оси Ох

в форуме Интегральное исчисление

sistem_ka

1

648

01 фев 2016, 14:17

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох

в форуме Интегральное исчисление

Ola-la

1

771

11 дек 2014, 15:28

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг ОХ

в форуме Интегральное исчисление

valentiana

4

564

05 май 2017, 23:57

Найти объём тела, образованного вращением

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

1

297

28 янв 2016, 14:29

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ох

в форуме Интегральное исчисление

bumshakalaka

8

954

04 апр 2015, 15:30

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ

в форуме Интегральное исчисление

makc59

3

436

19 фев 2018, 13:28

Найдите объём тела, полученного вращением плоской фигуры вок

в форуме Интегральное исчисление

xnalio

3

221

23 июн 2021, 03:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved