Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Определенный интерграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=25050
Страница 1 из 1

Автор:  Afina [ 02 июн 2013, 16:41 ]
Заголовок сообщения:  Определенный интерграл

решаю волновое уравнение методом Фурье

после подстановки уравнения в формулу получился вОт такой интеграл

[math]{C_n} = \frac{{32h}}{{5l}}\int\limits_0^l {\left( {{{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^4} - 2{{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^3} + \frac{x}{l}} \right)} *\sin \frac{{\pi nx}}{l}dx[/math]

после 3х кратного применения уравнения с разделяющимися переменными получилось вОт что
[math]{C_n} = \frac{{32h}}{{5l}}\left( { - 2\sin \frac{{\pi nx}}{l} - 24\sin \frac{{\pi nx}}{l} - \frac{{24}}{l}(\cos \pi n - 1)} \right)[/math]

боюсь что я ошиблась в решении интеграла :nails:

вообще уравнение с разделяющимися переменными в определенном интеграле применять можно?

Автор:  tester123 [ 02 июн 2013, 17:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интерграл

я лично не понял, что за 3х кратное применение уравнения с разделяющимися переменными
тут я вижу 4х кратное интегрирование по частям :bad:

Автор:  Avgust [ 02 июн 2013, 17:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интерграл

У меня получилось так же, как у Вольфрама:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +0+..+l%29

Автор:  Afina [ 02 июн 2013, 18:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интерграл

tester123 писал(а):
я лично не понял, что за 3х кратное применение уравнения с разделяющимися переменными
тут я вижу 4х кратное интегрирование по частям :bad:

простите что не правильно выразилась, именно его я и применила

Avgust писал(а):
У меня получилось так же, как у Вольфрама:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +0+..+l%29


вольфрам пишет: стандартное время вычисления превышено... и все :(
там видимо вычисления занимающие больше определенного времени требуют платного аккаунта

Автор:  Avgust [ 02 июн 2013, 19:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интерграл

Повторите еще раз. У меня сработал на третий раз.

Сейчас мне тоже не удалось повторить... Видимо, зависит от скорости интернета.
Пришлось то же самое сделать в Maple:

Изображение

Автор:  Afina [ 05 июн 2013, 20:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интерграл

не понятно мне куда у вас l делась
перерешала вышло
[math]\frac{{32h}}{{5{\pi ^5}{n^5}}}( - 2l{\pi ^3}{n^3}\sin \pi n + {\pi ^3}{n^3}\sin \pi n - 24{l^2}\pi n\sin \pi n - 24{l^3}\cos \pi n + 24{l^3})[/math]

подробное решение
[math]\begin{gathered} n = \frac{{32h}}{{5l}}\int\limits_0^l {({{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^4} - 2{{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^3} + \left( {\frac{x}{l}} \right))\sin \frac{{\pi nx}}{l}dx} = \int\limits_0^l {({{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^4} - 2{{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^3} + \left( {\frac{x}{l}} \right))d( - cos\frac{{\pi nx}}{l}} \frac{l}{{\pi n}}) = \hfill \\ = - \frac{{32h}}{{5l}}\frac{l}{{\pi n}}cos\frac{{\pi nx}}{l}({\left( {\frac{x}{l}} \right)^4} - 2{\left( {\frac{x}{l}} \right)^3} + \left( {\frac{x}{l}} \right))\mathop |\limits_0^l + \frac{{32h}}{{5l}}\frac{l}{{\pi n}}\int\limits_0^l {(4{{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^3} - 6{{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^2} + \left( {\frac{1}{l}} \right))\cos \frac{{\pi nx}}{l}dx} = \hfill \\ = \frac{{32h}}{{5\pi n}}\int\limits_0^l {(4{{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^3} - 6{{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^2} + \left( {\frac{1}{l}} \right))\cos \frac{{\pi nx}}{l}dx} = \frac{{32h}}{{5\pi n}}\int\limits_0^l {(4{{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^3} - 6{{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^2} + \left( {\frac{1}{l}} \right))d(sin} \frac{{\pi nx}}{l}\frac{l}{{\pi n}}) = \hfill \\ = \frac{{32h}}{{5\pi n}}\frac{l}{{\pi n}}\sin \frac{{\pi nx}}{l}(4{\left( {\frac{x}{l}} \right)^3} - 6{\left( {\frac{x}{l}} \right)^2} + \left( {\frac{1}{l}} \right))\mathop |\limits_0^l - \frac{{32h}}{{5\pi n}}\frac{l}{{\pi n}}\int\limits_0^l {(12{{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^2} - 12\left( {\frac{x}{l}} \right))\sin \frac{{\pi nx}}{l}dx} = \hfill \\ = \frac{{32hl}}{{5{\pi ^2}{n^2}}}\sin \pi n( - 2 + \left( {\frac{1}{l}} \right)) - \frac{{384hl}}{{5{\pi ^2}{n^2}}}\int\limits_0^l {({{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^2} - \left( {\frac{x}{l}} \right))d( - cos\frac{{\pi nx}}{l}} \frac{l}{{\pi n}}) = \hfill \\ = \frac{{32hl}}{{5{\pi ^2}{n^2}}}\sin \pi n( - 2 + \left( {\frac{1}{l}} \right)) - ( - \frac{{384hl}}{{5{\pi ^2}{n^2}}}\frac{l}{{\pi n}}cos\frac{{\pi nx}}{l}({\left( {\frac{x}{l}} \right)^2} - \left( {\frac{x}{l}} \right))\mathop |\limits_0^l + \frac{{384hl}}{{5{\pi ^2}{n^2}}}\frac{l}{{\pi n}}\frac{1}{l}\int\limits_0^l {(2x - 1)cos\frac{{\pi nx}}{l}} dx) = \hfill \\ = \frac{{32hl}}{{5{\pi ^2}{n^2}}}\sin \pi n( - 2 + \left( {\frac{1}{l}} \right)) - \frac{{384hl}}{{5{\pi ^3}{n^3}}}\int\limits_0^l {(2x - 1)cos\frac{{\pi nx}}{l}} dx = \frac{{32hl}}{{5{\pi ^2}{n^2}}}\sin \pi n( - 2 + \left( {\frac{1}{l}} \right)) - \frac{{384hl}}{{5{\pi ^3}{n^3}}}\int\limits_0^l {(2x - 1)d(sin\frac{{\pi nx}}{l}} \frac{l}{{\pi n}}) = \hfill \\ = \frac{{32hl}}{{5{\pi ^2}{n^2}}}\sin \pi n( - 2 + \left( {\frac{1}{l}} \right)) - (\frac{{384hl}}{{5{\pi ^3}{n^3}}}\frac{l}{{\pi n}}sin\frac{{\pi nx}}{l}(2x - 1)\mathop |\limits_0^l - \frac{{768hl}}{{5{\pi ^3}{n^3}}}\frac{l}{{\pi n}}\int\limits_0^l {sin\frac{{\pi nx}}{l}} dx) = \hfill \\ = \frac{{32hl}}{{5{\pi ^2}{n^2}}}\sin \pi n( - 2 + \left( {\frac{1}{l}} \right)) - \frac{{768h{l^2}}}{{5{\pi ^4}{n^4}}}\sin \pi n + \frac{{768h{l^2}}}{{5{\pi ^4}{n^4}}}\int\limits_0^l {d( - \cos \frac{{\pi nx}}{l}\frac{l}{{\pi n}}} ) = \hfill \\ = \frac{{32hl}}{{5{\pi ^2}{n^2}}}\sin \pi n( - 2 + \left( {\frac{1}{l}} \right)) - \frac{{768h{l^2}}}{{5{\pi ^4}{n^4}}}\sin \pi n + ( - \frac{{768h{l^3}}}{{5{\pi ^5}{n^5}}}\cos \frac{{\pi nx}}{l}\mathop |\limits_0^l ) = \hfill \\ = \frac{{32hl}}{{5{\pi ^2}{n^2}}}\sin \pi n( - 2 + \left( {\frac{1}{l}} \right)) - \frac{{768h{l^2}}}{{5{\pi ^4}{n^4}}}\sin \pi n - \frac{{768h{l^3}}}{{5{\pi ^5}{n^5}}}\cos \pi n + \frac{{768h{l^3}}}{{5{\pi ^5}{n^5}}} = \hfill \\ = \frac{{32h}}{{5{\pi ^5}{n^5}}}( - 2l{\pi ^3}{n^3}\sin \pi n + l\left( {\frac{1}{l}} \right){\pi ^3}{n^3}\sin \pi n - 24{l^2}\pi n\sin \pi n - 24{l^3}\cos \pi n + 24{l^3}) = \hfill \\ = \frac{{32h}}{{5{\pi ^5}{n^5}}}( - 2l{\pi ^3}{n^3}\sin \pi n + {\pi ^3}{n^3}\sin \pi n - 24{l^2}\pi n\sin \pi n - 24{l^3}\cos \pi n + 24{l^3}) \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Avgust [ 05 июн 2013, 21:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интерграл

Проверьте мое решение и Ваше решение дифференцированием. Сразу будет видно: одинаковые результаты или кто-то ошибся?

Автор:  Afina [ 05 июн 2013, 21:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интерграл

может я и ошиблась но вопрос к вам на каком этапе пропала l у вас? или вы считали в вычислительной системе и сами не знаете?

Автор:  Afina [ 07 июн 2013, 11:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интерграл

сама отвечу на свой вопрос: функцию в скобка нужно было дифференцировать как сумму сложных функций.. а я принимала l за константу и дифференцировала как простую

Автор:  Avgust [ 07 июн 2013, 11:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интерграл

У меня [math]l[/math] тоже константа, но она пропала на этапе подстановки пределов интегрирования.

Неопределенный интеграл получился такой:
Изображение

Тут видно, что при подстановке [math]x=l[/math] все[math]l[/math] сокращаются.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/