| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Объём тела вращения http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=25026 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | plastidas [ 02 июн 2013, 11:39 ] | ||
| Заголовок сообщения: | Объём тела вращения | ||
Кто знает как это делать....
|
|||
| Автор: | SzaryWilk [ 02 июн 2013, 15:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Объём тела вращения. Параметрическая крив |
Дуга (часть окружности) [math]f(x)=R-\sqrt{2Rx-x^2},\quad x\in[0,R][/math] ![]() вращается вокруг оси [math]0x[/math]. Если вычислять объем тела вращения по формуле [math]V=\pi\int_a^bf(x)^2dx[/math] то получается довольно противный интеграл. Но если запишем нашу дугу в параметрическом виде, то интеграл будет вполне приемлемым Параметрическая кривая. Объём тела вращения. Формула для вычисления объема тела вращения для параметрической кривой [math](x(t), y(t)), t\in[a,b][/math] имеет вид [math]\boxed{V=\pi\int_a^b|x'(t)|y(t)^2dt}[/math] ([math]x'(t), y(t)[/math] непрерывные на [math][a,b][/math],[math]y(t)\geq 0[/math]) В данном случае имеем [math]\begin{cases}x-R=R\cos t\\y-R=R\sin t, \quad, \quad t\in[\pi,\frac{3}{2}\pi]\end{cases}[/math] то есть [math]\begin{cases}x=R(1+\cos t)\\y=R(1+\sin t)\quad, \quad t\in[\pi,\frac{3}{2}\pi}]\end{cases}[/math] [math]x'(t)=-R\sin t[/math] [math]V=\pi\int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi}R^2(1+\sin t)^2(-R\sin t)\;dt=-R^3\pi\int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi}(1+\sin t)^2\sin t\;dt=...=\Big(\frac{5}{3}-\frac{\pi}{2}\Big)\pi R^3[/math]
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|