Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Объём тела вращения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=25026
Страница 1 из 1

Автор:  plastidas [ 02 июн 2013, 11:39 ]
Заголовок сообщения:  Объём тела вращения

Кто знает как это делать....

Вложения:
3 зад объём тела вращения.jpg
3 зад объём тела вращения.jpg [ 93.71 Кб | Просмотров: 39 ]

Автор:  SzaryWilk [ 02 июн 2013, 15:13 ]
Заголовок сообщения:  Объём тела вращения. Параметрическая крив

Дуга (часть окружности) [math]f(x)=R-\sqrt{2Rx-x^2},\quad x\in[0,R][/math]

Изображение


вращается вокруг оси [math]0x[/math]. Если вычислять объем тела вращения по формуле

[math]V=\pi\int_a^bf(x)^2dx[/math]


то получается довольно противный интеграл. Но если запишем нашу дугу в параметрическом виде, то интеграл будет вполне приемлемым

Параметрическая кривая. Объём тела вращения.


Формула для вычисления объема тела вращения для параметрической кривой
[math](x(t), y(t)), t\in[a,b][/math] имеет вид

[math]\boxed{V=\pi\int_a^b|x'(t)|y(t)^2dt}[/math]


([math]x'(t), y(t)[/math] непрерывные на [math][a,b][/math],[math]y(t)\geq 0[/math])

В данном случае имеем

[math]\begin{cases}x-R=R\cos t\\y-R=R\sin t, \quad, \quad t\in[\pi,\frac{3}{2}\pi]\end{cases}[/math]

то есть
[math]\begin{cases}x=R(1+\cos t)\\y=R(1+\sin t)\quad, \quad t\in[\pi,\frac{3}{2}\pi}]\end{cases}[/math]


[math]x'(t)=-R\sin t[/math]

[math]V=\pi\int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi}R^2(1+\sin t)^2(-R\sin t)\;dt=-R^3\pi\int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi}(1+\sin t)^2\sin t\;dt=...=\Big(\frac{5}{3}-\frac{\pi}{2}\Big)\pi R^3[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/