| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать равенство интегралов http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=24815 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Neznaika33 [ 28 май 2013, 13:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказать равенство интегралов |
Здравствуйте, математики!Столкнулся вот с такой проблемой. Доказать, что для всякой непрерывной на отрезке [0,1] функции f выполняется равенство. [math]\int\limits_0^{\pi |2}{f(\sin 2x)}\cos xdx = \int\limits_0^{\pi |2}{f({{\cos}^2}x)}\cos xdx[/math] Проверял в нескольких частных случаях.Формула работает. Помогите, пожалуйста ! |
|
| Автор: | erjoma [ 28 май 2013, 15:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равенство интегралов |
[math]\begin{aligned}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin 2x} \right)\cos xdx} & = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\sin 2x} \right)\cos xdx} + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin 2x} \right)\cos xdx} = \left( {\sin 2x = t} \right) = \\[2pt] & = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)\sqrt {\frac{{\sqrt {1 - {t^2}} + 1}}{2}} \frac{1}{{2\sqrt {1 - {t^2}} }}dt} + \int\limits_1^0 {f\left( t \right)\sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - {t^2}} }}{2}} \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - {t^2}} }}dt} = \\[2pt] & = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{{\sqrt {1 - t} }}dt} \end{aligned}[/math] [math]\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos xdx} = \left( {{{\cos }^2}x = t} \right) = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{{\sqrt {1 - {t}} }}dt}[/math] P.S. [math]\sqrt {a + b} = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{2}} + \sqrt {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{2}}[/math] |
|
| Автор: | Neznaika33 [ 28 май 2013, 15:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать равенство интегралов |
Спасибо
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|