Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать равенство интегралов
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=24815
Страница 1 из 1

Автор:  Neznaika33 [ 28 май 2013, 13:00 ]
Заголовок сообщения:  Доказать равенство интегралов

Здравствуйте, математики!Столкнулся вот с такой проблемой.
Доказать, что для всякой непрерывной на отрезке [0,1] функции f выполняется равенство.
[math]\int\limits_0^{\pi |2}{f(\sin 2x)}\cos xdx = \int\limits_0^{\pi |2}{f({{\cos}^2}x)}\cos xdx[/math]
Проверял в нескольких частных случаях.Формула работает.
Помогите, пожалуйста !

Автор:  erjoma [ 28 май 2013, 15:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равенство интегралов

[math]\begin{aligned}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin 2x} \right)\cos xdx} & = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\sin 2x} \right)\cos xdx} + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin 2x} \right)\cos xdx} = \left( {\sin 2x = t} \right) = \\[2pt] & = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)\sqrt {\frac{{\sqrt {1 - {t^2}} + 1}}{2}} \frac{1}{{2\sqrt {1 - {t^2}} }}dt} + \int\limits_1^0 {f\left( t \right)\sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - {t^2}} }}{2}} \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - {t^2}} }}dt} = \\[2pt] & = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{{\sqrt {1 - t} }}dt} \end{aligned}[/math]
[math]\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos xdx} = \left( {{{\cos }^2}x = t} \right) = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{{\sqrt {1 - {t}} }}dt}[/math]




P.S.
[math]\sqrt {a + b} = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{2}} + \sqrt {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{2}}[/math]

Автор:  Neznaika33 [ 28 май 2013, 15:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать равенство интегралов

Спасибо :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/