| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Исследовать интеграл на условную сходимость http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=24783 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | maxwmz [ 27 май 2013, 19:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Исследовать интеграл на условную сходимость |
Здравствуйте. Задача: исследовать интеграл на условную сходимость. ![]() После замены y = ln(x) получаем такой интеграл: или ![]() Вопрос в том, что делать дальше. Скажем даже, что с абсолютной сходимостью все более-менее понятно, ибо можно показать, что для каждого промежутка от 2pi*k до pi+2pi*k площадь под графиком каждый раз увеличивается. А что делать с обычной сходимостью — пока не понятно. |
|
| Автор: | SzaryWilk [ 28 май 2013, 04:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на условную сходимость |
Как исследовать не вычисляя, не знаю, но этот интеграл берется легко: [math]I= \int\frac{\sin(\log x)}{\sqrt x}dx= 2\sqrt x\sin(\log)-2\int\frac{\sqrt x}{x}\cos(\log x) dx=2\sqrt x\sin(\log x)-2\int\frac{\cos(\log x)}{\sqrt x} dx=[/math] [math]= 2\sqrt x\sin(\log x)-2\Big(2\sqrt x\cos(\log x)+2\int\frac{\sqrt x}{x}\sin(\log x)dx\Big)= 2\sqrt x\sin(\log x)-4\sqrt x\cos(\log x)-4I[/math] [math]5I=2\sqrt x\sin(\log x)-4\sqrt x\cos(\log x)[/math] [math]I=\frac{2}{5}\sqrt x(\sin(\log x)-2\cos(\log} x))+C[/math]
|
|
| Автор: | Human [ 28 май 2013, 13:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на условную сходимость |
Можно ещё критерием Коши воспользоваться. Функция [math]e^{\frac y2}-e^{-\frac y2}[/math] монотонно возрастает, поэтому, скажем, при [math]y\geqslant1[/math] имеем [math]e^{\frac y2}-e^{-\frac y2}\geqslant e^{\frac12}-e^{-\frac12}=\varepsilon>0[/math]. Тогда [math]\left|\int\limits_{2\pi n}^{2\pi n+\pi}\sin y(e^{\frac y2}-e^{-\frac y2})\,dy\right|\geqslant\varepsilon\int\limits_0^{\pi}\sin y\,dy=2\varepsilon>0[/math] а точки [math]x_1=2\pi n,\ x_2=2\pi n+\pi[/math] можно выбирать сколь угодно близко к бесконечности благодаря произвольности [math]n[/math]. По критерию Коши отсюда следует расходимость. Описанный приём работает весьма часто для интегралов вида [math]\int\limits_a^{+\infty}f(x)g(x)\,dx[/math] где [math]f(x)[/math] периодична, а [math]g(x)\geqslant\varepsilon>0[/math] на [math][a;+\infty)[/math]. |
|
| Автор: | Human [ 28 май 2013, 14:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на условную сходимость |
maxwmz, ещё одно замечание: если Вы исследуете интеграл на сходимость в несобственном смысле, и у него особенность в обоих концах интервала, то нужно разбивать интервал на два и исследовать на сходимость уже на интервалах с одной особенностью. Исходный интеграл при этом считается сходящимся, если сходятся интегралы на обоих интервалах разбиения. Это я к тому, что переход от интеграла [math]\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx[/math] к интегралу [math]\int\limits_0^{+\infty}(f(x)+f(-x))\,dx[/math] может превратить его из расходящегося в сходящийся. В этом случае говорят, что интеграл [math]\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx[/math] сходится в смысле главного значения. Мне, соответственно, тоже замечание, что не увидел этого раньше и написал решение для выписанного Вами интеграла. Но как метод он всё равно остаётся в силе. |
|
| Автор: | maxwmz [ 28 май 2013, 18:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на условную сходимость |
SzaryWilk, спасибо за помощь. В итоге я взял интеграл. Правда, не этот, а с замененной переменной. Human, я решил так: посчитал, чему равен неопр. интеграл, нашел значение опр. интеграла с границами 2pi*k и 2pi*(k+1) как функцию от k. Поэтому исходный интеграл равен сумме ряда значений таких интегралов для k = 0, 1, 2, ... Так оказалось, что член ряда стремится к минус бесконечности при k стремящемся к нулю. Отсюда сделал вывод, что интеграл расходится. Что касается замечания. Я так понимаю, что мой интеграл правильнее разбить на сумму двух, в каждом из которых будет по одной экспоненте. Тогда интеграл, где экспонента в степени x/2 расходится по аналогичным причинам. А тот, где в степени -x/2, сходится по признаку Дирихле. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|