Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Дорешать интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=24736
Страница 1 из 1

Автор:  student-himik [ 26 май 2013, 17:38 ]
Заголовок сообщения:  Дорешать интеграл

Добрый день :)
Мне сказали в интеграле надо 2 раза интегрировать по частям и выразить ответ.
Помогите пожалуйста это сделать.
Вот интеграл: int((5sin2x)/(e^x))dx
1-ое интегрирование:
int(uv) = uv - int(vdu)
u = (e^x)-1, du = - e^x*(e^x)^(-2) = - (e^x)-1 dx,
dv = 5 sin2x dx, v = - 2,5 cos2x
int((5sin2x)/(e^x))dx = (- 2,5 cos2x)*((e^x)-1) - int((- 2,5 cos2x)*(- (e^x)-1 ) dx =
(- 2,5 cos2x)*((e^x)-1) - int((2,5 cos2x)*((e^x)-1 ) dx
2-ое интегрирование:
u = (e^x)-1, du = - (e^x)-1 dx,
dv = 2,5 cos2x, v = 1,25 sin2x
int((2,5 cos2x)*((e^x)-1 ) dx = (e^x)-1*(1,25 sin2x) - int((1,25 sin2x)(- (e^x)-1 )dx
Т.е. окончательно (если нет ошибок) имею 2 выражения:
int((5sin2x)/(e^x))dx = (- 2,5 cos2x)*((e^x)-1) - int((2,5 cos2x)*((e^x)-1 ) dx
int((2,5 cos2x)*((e^x)-1 ) dx = (e^x)-1*(1,25 sin2x) - int((1,25 sin2x)(- (e^x)-1 )dx
И не знаю что с ними делать :O:

Автор:  SzaryWilk [ 26 май 2013, 18:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дорешать интеграл

Извините, но мне лень пробиваться через Вашу запись.

Вся фишка в том, чтобы, интегрируя, получить выражение, содержащее искомый интеграл.
Обозначим искомый интеграл через [math]I[/math].
Имеем
[math]I= 5\int e^{-x}\sin(2x)dx= 5\Big(-e^{-x}\sin(2x)-\int(-e^{-x}\;2\cos(2x)dx)\Big)+C=[/math]


[math]-5e^{-x}\sin(2x)+10\int e^{-x}\cos(2x)dx+C=[/math]


[math]-5e^{-x}\sin(2x)+10\Big(-e^{-x}\cos(2x)-\int(-e^{-x})(-\sin(2x))2 dx \Big)=[/math]


[math]-5e^{-x}\sin(2x)-10e^{-x}\cos(2x)-4I+C[/math]


Мы получили

[math]I=-5e^{-x}(\sin(2x)+2\cos(2x))-4I+C[/math]


- уравнение с неизвестной [math]I[/math]. Решаем:

[math]5I=-5e^{-x}(\sin(2x)+2\cos(2x)) +C[/math]

[math]I=-e^{-x}(\sin(2x)+2\cos(2x)) +C[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/