Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=24588
Страница 1 из 1

Автор:  ligerium [ 23 май 2013, 14:39 ]
Заголовок сообщения:  Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл

Приветствую...
нужно придти к интегралу который необходимо вычислить, если можно с графиком, заранее спасибоИзображение

Автор:  Andy [ 24 май 2013, 08:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл

ligerium
Область интегрирования представляет собой кольцо, границами которого являются концентрические окружности с центром в начале координат. Радиус одной окружности равен [math]R_1=\pi,[/math] а другой окружности - [math]R_2=2\pi.[/math] Область интегрирования симметрична относительно координатных осей, а подынтегральная функция чётна относительно обеих переменных. Поэтому можно выполнить интегрирование на той части области, которая расположена в первой координатной четверти, и полученный результат умножить на четыре.

Перейдём от декартовых прямоугольных координат к полярным:
[math]x=\rho \cos \varphi,~y=\rho \sin \varphi,~\sqrt{x^2+y^2}=\rho,~ds=dxdy=\rho d\rho d\varphi.[/math]


Вычислим искомый интеграл:
[math]I=\iint\limits_{G} \sin \sqrt{x^2+y^2} ds=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \int\limits_{\pi}^{2\pi} \rho \sin \rho d\rho.[/math]


Найдём неопределённый интеграл:
[math]\int \rho \sin \rho d\rho=\bigg(u=\rho,~du=d\rho,~dv=\sin \rho d\rho,~v=\int \sin \rho d\rho=-\cos \rho\bigg)=[/math]

[math]=-\rho \cos \rho + \int \cos \rho d\rho=-\rho \cos \rho - \sin \rho+C.[/math]


С учётом полученного значения неопределённого интеграла продолжим вычисления:
[math]I=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \cdot \left.{(-\rho \cos \rho - \sin \rho)}\right|_{\pi}^{2\pi}=2\pi \cdot (-2\pi \cos 2\pi - \sin 2\pi - (-\pi \cos \pi - \sin \pi))=[/math]

[math]=2\pi \cdot (2\pi - 0 - (\pi - 0))=2\pi \cdot \pi = 2\pi^2 \approx 19,74.[/math]


Вроде бы так. Проверка решения - за Вами. Успехов! :)

Автор:  Andy [ 24 май 2013, 11:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл

ligerium
Извиняюсь, ошибся:
[math]I=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \cdot \left.{(-\rho \cos \rho - \sin \rho)}\right|_{\pi}^{2\pi}=2\pi \cdot (-2\pi \cos 2\pi - \sin 2\pi - (-\pi \cos \pi - \sin \pi))=[/math]

[math]=2\pi \cdot (-2\pi - 0 - (\pi - 0))=2\pi \cdot (-3\pi) = -6\pi^2 \approx -59,22.[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/