Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
СообщениеДобавлено: 23 май 2013, 14:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2013, 14:26
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую...
нужно придти к интегралу который необходимо вычислить, если можно с графиком, заранее спасибоИзображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
СообщениеДобавлено: 24 май 2013, 08:00 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22360
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ligerium
Область интегрирования представляет собой кольцо, границами которого являются концентрические окружности с центром в начале координат. Радиус одной окружности равен [math]R_1=\pi,[/math] а другой окружности - [math]R_2=2\pi.[/math] Область интегрирования симметрична относительно координатных осей, а подынтегральная функция чётна относительно обеих переменных. Поэтому можно выполнить интегрирование на той части области, которая расположена в первой координатной четверти, и полученный результат умножить на четыре.

Перейдём от декартовых прямоугольных координат к полярным:
[math]x=\rho \cos \varphi,~y=\rho \sin \varphi,~\sqrt{x^2+y^2}=\rho,~ds=dxdy=\rho d\rho d\varphi.[/math]


Вычислим искомый интеграл:
[math]I=\iint\limits_{G} \sin \sqrt{x^2+y^2} ds=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \int\limits_{\pi}^{2\pi} \rho \sin \rho d\rho.[/math]


Найдём неопределённый интеграл:
[math]\int \rho \sin \rho d\rho=\bigg(u=\rho,~du=d\rho,~dv=\sin \rho d\rho,~v=\int \sin \rho d\rho=-\cos \rho\bigg)=[/math]

[math]=-\rho \cos \rho + \int \cos \rho d\rho=-\rho \cos \rho - \sin \rho+C.[/math]


С учётом полученного значения неопределённого интеграла продолжим вычисления:
[math]I=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \cdot \left.{(-\rho \cos \rho - \sin \rho)}\right|_{\pi}^{2\pi}=2\pi \cdot (-2\pi \cos 2\pi - \sin 2\pi - (-\pi \cos \pi - \sin \pi))=[/math]

[math]=2\pi \cdot (2\pi - 0 - (\pi - 0))=2\pi \cdot \pi = 2\pi^2 \approx 19,74.[/math]


Вроде бы так. Проверка решения - за Вами. Успехов! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
СообщениеДобавлено: 24 май 2013, 11:56 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22360
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ligerium
Извиняюсь, ошибся:
[math]I=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \cdot \left.{(-\rho \cos \rho - \sin \rho)}\right|_{\pi}^{2\pi}=2\pi \cdot (-2\pi \cos 2\pi - \sin 2\pi - (-\pi \cos \pi - \sin \pi))=[/math]

[math]=2\pi \cdot (-2\pi - 0 - (\pi - 0))=2\pi \cdot (-3\pi) = -6\pi^2 \approx -59,22.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Перейти к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

Arno

0

306

13 апр 2015, 01:36

ПеРейти к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

nastichka____

3

206

27 ноя 2018, 21:16

ПеРейти к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

nastichka____

1

204

08 дек 2018, 18:40

Перейти к полярным координатам

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Adel2015

3

245

02 дек 2016, 23:06

Перейти к полярным координатам

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sasha9468

9

375

15 апр 2024, 07:12

Перейти к полярным координатам в интеграле

в форуме Интегральное исчисление

NikitaSPb

2

298

12 дек 2016, 09:46

Перейти к обобщенным полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

dimandji

1

536

28 июн 2015, 22:48

В двойном интеграле перейти к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

evlucid

2

319

13 дек 2018, 18:41

Перейти к полярным координатам и расставить пределы

в форуме Интегральное исчисление

fess56rus

2

274

13 апр 2017, 16:39

Перейти к полярным координатам и расставить пределы инт

в форуме Интегральное исчисление

Arno

1

287

13 апр 2015, 01:50


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved