Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| ligerium |
|
||
| Вернуться к началу | |||
| Andy |
|
||
|
ligerium
Область интегрирования представляет собой кольцо, границами которого являются концентрические окружности с центром в начале координат. Радиус одной окружности равен [math]R_1=\pi,[/math] а другой окружности - [math]R_2=2\pi.[/math] Область интегрирования симметрична относительно координатных осей, а подынтегральная функция чётна относительно обеих переменных. Поэтому можно выполнить интегрирование на той части области, которая расположена в первой координатной четверти, и полученный результат умножить на четыре. Перейдём от декартовых прямоугольных координат к полярным: [math]x=\rho \cos \varphi,~y=\rho \sin \varphi,~\sqrt{x^2+y^2}=\rho,~ds=dxdy=\rho d\rho d\varphi.[/math] Вычислим искомый интеграл: [math]I=\iint\limits_{G} \sin \sqrt{x^2+y^2} ds=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \int\limits_{\pi}^{2\pi} \rho \sin \rho d\rho.[/math] Найдём неопределённый интеграл: [math]\int \rho \sin \rho d\rho=\bigg(u=\rho,~du=d\rho,~dv=\sin \rho d\rho,~v=\int \sin \rho d\rho=-\cos \rho\bigg)=[/math] [math]=-\rho \cos \rho + \int \cos \rho d\rho=-\rho \cos \rho - \sin \rho+C.[/math] С учётом полученного значения неопределённого интеграла продолжим вычисления: [math]I=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \cdot \left.{(-\rho \cos \rho - \sin \rho)}\right|_{\pi}^{2\pi}=2\pi \cdot (-2\pi \cos 2\pi - \sin 2\pi - (-\pi \cos \pi - \sin \pi))=[/math] [math]=2\pi \cdot (2\pi - 0 - (\pi - 0))=2\pi \cdot \pi = 2\pi^2 \approx 19,74.[/math] Вроде бы так. Проверка решения - за Вами. Успехов! ![]() |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Andy |
|
|
|
ligerium
Извиняюсь, ошибся: [math]I=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \cdot \left.{(-\rho \cos \rho - \sin \rho)}\right|_{\pi}^{2\pi}=2\pi \cdot (-2\pi \cos 2\pi - \sin 2\pi - (-\pi \cos \pi - \sin \pi))=[/math] [math]=2\pi \cdot (-2\pi - 0 - (\pi - 0))=2\pi \cdot (-3\pi) = -6\pi^2 \approx -59,22.[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |