| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Объём тела (тройной интеграл) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=24461 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | roperd [ 20 май 2013, 17:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Объём тела (тройной интеграл) |
Здравствуйте! Просьба помочь с нахождением объёма тела, ограниченного поверхностью: V = (z = 2*y && z=y && x^2 + (y - 2)^2 = 4), где && - знак пересечения. Если не трудно, можно построить V, основные проблемы состоят в этом. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 21 май 2013, 19:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объём тела (тройной интеграл) |
Запишите область в цилиндрических координатах со сдвигом центра окружности в начало координат: [math]\left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\ y - 2 = r\sin \varphi , \hfill \\ z = z,\hfill \\ \end{gathered}\right.\quad |J|=r.[/math] Таким образом, [math]V^* = \Bigl\{0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi ,~0 \leqslant r \leqslant 2,~ 2 + r\sin \varphi \leqslant z \leqslant 2(2 + r\sin \varphi ) \Bigr\}[/math] [math]\begin{aligned}v &= \iiint\limits_{V}dxdydz = \iiint\limits_{V^*}r\,dr\,d\varphi\,dz= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2 r\,dr \int\limits_{2 + r\sin \varphi}^{2(2 + r\sin \varphi )}dz = \\ &= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2{r(2 + r\sin \varphi)dr = \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \left.{\left( r^2 + \frac{r^3}{3}\sin \varphi\right)}\right|_{r = 0}^{r = 2}= \\ &= \int\limits_0^{2\pi}\!\left(4 + \frac{8}{3}\sin \varphi\right)\!d\varphi= \left.{\left(4\varphi - \frac{8}{3}\cos\varphi \right)}\right|_0^{2\pi}= 8\pi\end{aligned}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|