Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Объём тела (тройной интеграл)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=24461
Страница 1 из 1

Автор:  roperd [ 20 май 2013, 17:20 ]
Заголовок сообщения:  Объём тела (тройной интеграл)

Здравствуйте! Просьба помочь с нахождением объёма тела, ограниченного поверхностью:

V = (z = 2*y && z=y && x^2 + (y - 2)^2 = 4), где && - знак пересечения. Если не трудно, можно построить V, основные проблемы состоят в этом.

Автор:  Alexdemath [ 21 май 2013, 19:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объём тела (тройной интеграл)

Запишите область в цилиндрических координатах со сдвигом центра окружности в начало координат:

[math]\left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\ y - 2 = r\sin \varphi , \hfill \\ z = z,\hfill \\ \end{gathered}\right.\quad |J|=r.[/math]

Таким образом, [math]V^* = \Bigl\{0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi ,~0 \leqslant r \leqslant 2,~ 2 + r\sin \varphi \leqslant z \leqslant 2(2 + r\sin \varphi ) \Bigr\}[/math]

[math]\begin{aligned}v &= \iiint\limits_{V}dxdydz = \iiint\limits_{V^*}r\,dr\,d\varphi\,dz= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2 r\,dr \int\limits_{2 + r\sin \varphi}^{2(2 + r\sin \varphi )}dz = \\ &= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2{r(2 + r\sin \varphi)dr = \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \left.{\left( r^2 + \frac{r^3}{3}\sin \varphi\right)}\right|_{r = 0}^{r = 2}= \\ &= \int\limits_0^{2\pi}\!\left(4 + \frac{8}{3}\sin \varphi\right)\!d\varphi= \left.{\left(4\varphi - \frac{8}{3}\cos\varphi \right)}\right|_0^{2\pi}= 8\pi\end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/