Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Модель Ферхюльста-Пирла (динамика популяций)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=24230
Страница 1 из 1

Автор:  Afina [ 14 май 2013, 10:56 ]
Заголовок сообщения:  Модель Ферхюльста-Пирла (динамика популяций)

Здравствуйте, исследую модель Ферхюльста-Пирла (динамика популяций)
сама модель такая:
[math]\frac{{dx}}{{dt}} = kx - b{x^2}[/math]

провела вычисление t
[math]\begin{gathered}\frac{{dx}}{{dt}} = kx - b{x^2} \hfill \\ t = \int {\frac{{dx}}{{kx - b{x^2}}}} \hfill \\ t = \int {\frac{{dx}}{{x(k - bx)}}} = \int {\frac{{\frac{1}{k}(k - bx) + \frac{1}{k}bx}}{{x(k - bx)}}dx} = \hfill \\\frac{1}{k}\int {\frac{1}{x}dx + \frac{b}{k}\int {\frac{{d(k - bx)}}{{k - bx}} = } } \hfill \\\frac{1}{k}\ln |x| + \frac{b}{k}\ln |k - bx| + c \hfill \\\end{gathered}[/math]

x не могу выделить...(чтоб построить график зависимости x от t) может где ошиблась? или замену переменных какую сделать?
помогите пожалуйста...

Автор:  Avgust [ 14 май 2013, 11:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Модель ферхюльста-пирла

Интеграл равен

[math]t=\frac 1k \left ( \ln \, \frac{x}{bx-k}\right )+c[/math]

Проверяю дифференцированием - все верно:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... %2Bc%29%27

Тогда:

[math]x=\frac{k}{b-e^{k(c-t)}}[/math]

Автор:  Afina [ 14 май 2013, 16:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Модель ферхюльста-пирла

у вас написано что получится
[math]t = \frac{1}{k}(\ln \frac{x}{{bx - k}}) + c[/math]

ручками пересчитала вперед
[math]\begin{gathered} t = \frac{1}{k}(\ln \frac{x}{{bx - k}}) + c \hfill \\ k(t - c) = \ln \frac{x}{{bx - k}} \hfill \\\frac{x}{{bx - k}} = {e^{k(t - c)}} \hfill \\ x = bx{e^{k(t - c)}} - k{e^{k(t - c)}} \hfill \\ - x + bx{e^{k(t - c)}} = k{e^{k(t - c)}} \hfill \\ x = \frac{k}{{b - \frac{1}{{{e^{k(t - c)}}}}}} \hfill \\ x = \frac{k}{{b - {e^{k(c - t)}}}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]


если разложить обратно вот что получается
[math]\begin{gathered} t = \frac{1}{k}(\ln \frac{x}{{bx - k}}) + c \hfill \\ t = \frac{1}{k}(\ln x - \ln (bx - k)) + c \hfill \\ t = \frac{1}{k}(\ln x + \ln (k - bx)) + c \hfill \\ t = \frac{1}{k}lnx + \frac{1}{k}\ln (k - bx) + c \hfill \\ \end{gathered}[/math]

отличается от моего верхнего решения на b

[math]t = \frac{1}{k}\ln |x| + \frac{b}{k}\ln |k - bx| + c[/math]


не понимаю куда она у вас делась :-(

Автор:  Afina [ 14 май 2013, 17:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Модель ферхюльста-пирла

простите поняла свою ошибку
[math]\int \begin{gathered}\int{\frac{b}{{k - bx}}}dx = - \int {\frac{b}{{bx - k}}dx = - \int {\frac{{d(bx - k)}}{{bx - k}}} } \hfill\\\ bx - k = z \hfill \\\- \int {z^{ - 1}}dz = - \ln |z| + c \hfill \\\frac{1}{k}\ln x - \frac{1}{k}\ln (bx - k) + c\hfill\\\end{gathered}[/math]

PS: между 2 и 3 строчкой ошибка конвертера

Автор:  Avgust [ 14 май 2013, 20:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Модель Ферхюльста-Пирла (динамика популяций)

Теперь все верно. Ух, теперь размножатся Ваши кролики! :D1

Автор:  Afina [ 15 май 2013, 10:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Модель Ферхюльста-Пирла (динамика популяций)

тут http://www.omsu.omskreg.ru/vestnik/articles/y1997-i1/a014/article.html
написано Изображение
с начальным условием , где параметры характеризуют интенсивности рождения и гибели особей популяции. Решение уравнения, как известно, имеет вид
Изображение

не понятно чего курили и какие параметры вводили... в принципе мне это не важно и вообще, не для среднего ума... но все же было бы любопытно посмотреть :-(
вообще где бы ни смотрела, нигде не решается классическая формула, везде пишут: есть такая модель, оп (хлопок в ладоши) и как известно решение такое... везде уравнение одного вида в принципе, но облеплено еще чем то лишним... хоть бы писали поподробнее ...

Автор:  Avgust [ 15 май 2013, 11:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Модель Ферхюльста-Пирла (динамика популяций)

Я порешал и получил чуть-чуть другое:

Изображение

Но я ничего не курил! Я вообще не курю с 3-х летнего возраста.

Не знаю, как [math]c_1[/math] соотносится с [math]x_0[/math]...

Вдруг все совпадает и ихней формулой? Нужен третейский судья.

Автор:  Afina [ 15 май 2013, 11:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Модель Ферхюльста-Пирла (динамика популяций)

с1 константа и может быть любой... и кстати может быть что туда не только x0 входит ... и вообще входит ли...
буду сдавать загружу препода, пускай думает :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/