Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Несобственный интеграл,вычислить или установить расходимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=24171
Страница 1 из 1

Автор:  Wild angel [ 12 май 2013, 17:37 ]
Заголовок сообщения:  Несобственный интеграл,вычислить или установить расходимость

Помогите пожалуйста вычислить несобственные интегралы I-го и II-го рода или установить их расходимость
а) [math]\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{ dx }{ x^{2} - 8x + 20 } dx[/math]

б) [math]\int\limits_{1}^{e} \frac{ dx }{ x\sqrt{\ln{x} } }[/math]

Автор:  Alexdemath [ 13 май 2013, 02:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл,вычислить или установить расходимость

В первом сначала выделите полный квадрат в знаменателе. Должны получить [math](x-4)^2+4[/math].

[math]\begin{aligned}\int \frac{dx}{x^2-8x+20}&= \int \frac{dx}{(x-4)^2+4}= \frac{1}{4}\int \frac{dx}{{\left(\dfrac{x-4}{2}\right)\!}^2+1}=\\ &=\frac{1}{2}\int \frac{1}{{\left(\dfrac{x-4}{2}\right)\!}^2+1}\,d\!\left(\dfrac{x-4}{2}\right)= \frac{1}{2}\operatorname{arctg}\dfrac{x-4}{2}+C\end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^2-8x+20}&= \int\limits_{-\infty}^{0} \frac{dx}{x^2-8x+20}+ \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x^2-8x+20}=\\ &=\lim\limits_{a\to -\infty}\int\limits_{a}^{0} \frac{dx}{x^2-8x+20}+ \lim\limits_{b\to +\infty}\int\limits_{0}^{b} \frac{dx}{x^2-8x+20}=\\ &= \left.{\frac{1}{2}\lim\limits_{a\to -\infty}\operatorname{arctg}\dfrac{x-4}{2}}\right|_{a}^{0}+ \left.{\frac{1}{2}\lim\limits_{b\to +\infty}\operatorname{arctg}\dfrac{x-4}{2}}\right|_{0}^{b}=\\ &=\frac{1}{2}\lim\limits_{a\to -\infty}\! \left(\operatorname{arctg}\dfrac{0-4}{2}-\operatorname{arctg}\dfrac{a-4}{2}\right)+ \frac{1}{2}\lim\limits_{b\to +\infty}\! \left(\operatorname{arctg}\dfrac{b-4}{2}-\operatorname{arctg}\dfrac{0-4}{2}\right)=\\ &= \frac{1}{2}\! \left(\operatorname{arctg}(-2)-\frac{-\pi}{2}\right)+ \frac{1}{2}\! \left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}(-2)\right)= \frac{\pi}{2} \end{aligned}[/math]

Автор:  Alexdemath [ 13 май 2013, 02:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл,вычислить или установить расходимость

Второй интеграл

[math]\begin{aligned}\int\limits_{1}^{e} \frac{ dx }{ x\sqrt{\ln{x} } }&= \lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{1+\varepsilon}^{e} (\ln x)^{-1\!\not{\phantom{|}}\,\, 2}\,d(\ln x)= \left.{2\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\sqrt{\ln x}\,}\right|_{1+\varepsilon}^{e}=\\ &=2\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \Bigl(\sqrt{\ln e}-\sqrt{\ln (1+\varepsilon )}\Bigr)= 2\Bigl(1-\sqrt{\ln1}\Bigr)= 2(1-0)=2\end{aligned}[/math]

Автор:  Wild angel [ 13 май 2013, 21:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл,вычислить или установить расходимость

Alexdemath
Спасибо огромное! :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/