Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Несобственный интеграл,вычислить или установить расходимость
СообщениеДобавлено: 12 май 2013, 17:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 май 2013, 21:17
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста вычислить несобственные интегралы I-го и II-го рода или установить их расходимость
а) [math]\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{ dx }{ x^{2} - 8x + 20 } dx[/math]

б) [math]\int\limits_{1}^{e} \frac{ dx }{ x\sqrt{\ln{x} } }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл,вычислить или установить расходимость
СообщениеДобавлено: 13 май 2013, 02:07 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В первом сначала выделите полный квадрат в знаменателе. Должны получить [math](x-4)^2+4[/math].

[math]\begin{aligned}\int \frac{dx}{x^2-8x+20}&= \int \frac{dx}{(x-4)^2+4}= \frac{1}{4}\int \frac{dx}{{\left(\dfrac{x-4}{2}\right)\!}^2+1}=\\ &=\frac{1}{2}\int \frac{1}{{\left(\dfrac{x-4}{2}\right)\!}^2+1}\,d\!\left(\dfrac{x-4}{2}\right)= \frac{1}{2}\operatorname{arctg}\dfrac{x-4}{2}+C\end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^2-8x+20}&= \int\limits_{-\infty}^{0} \frac{dx}{x^2-8x+20}+ \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x^2-8x+20}=\\ &=\lim\limits_{a\to -\infty}\int\limits_{a}^{0} \frac{dx}{x^2-8x+20}+ \lim\limits_{b\to +\infty}\int\limits_{0}^{b} \frac{dx}{x^2-8x+20}=\\ &= \left.{\frac{1}{2}\lim\limits_{a\to -\infty}\operatorname{arctg}\dfrac{x-4}{2}}\right|_{a}^{0}+ \left.{\frac{1}{2}\lim\limits_{b\to +\infty}\operatorname{arctg}\dfrac{x-4}{2}}\right|_{0}^{b}=\\ &=\frac{1}{2}\lim\limits_{a\to -\infty}\! \left(\operatorname{arctg}\dfrac{0-4}{2}-\operatorname{arctg}\dfrac{a-4}{2}\right)+ \frac{1}{2}\lim\limits_{b\to +\infty}\! \left(\operatorname{arctg}\dfrac{b-4}{2}-\operatorname{arctg}\dfrac{0-4}{2}\right)=\\ &= \frac{1}{2}\! \left(\operatorname{arctg}(-2)-\frac{-\pi}{2}\right)+ \frac{1}{2}\! \left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}(-2)\right)= \frac{\pi}{2} \end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Wild angel
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл,вычислить или установить расходимость
СообщениеДобавлено: 13 май 2013, 02:17 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Второй интеграл

[math]\begin{aligned}\int\limits_{1}^{e} \frac{ dx }{ x\sqrt{\ln{x} } }&= \lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{1+\varepsilon}^{e} (\ln x)^{-1\!\not{\phantom{|}}\,\, 2}\,d(\ln x)= \left.{2\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\sqrt{\ln x}\,}\right|_{1+\varepsilon}^{e}=\\ &=2\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \Bigl(\sqrt{\ln e}-\sqrt{\ln (1+\varepsilon )}\Bigr)= 2\Bigl(1-\sqrt{\ln1}\Bigr)= 2(1-0)=2\end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Wild angel
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл,вычислить или установить расходимость
СообщениеДобавлено: 13 май 2013, 21:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 май 2013, 21:17
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath
Спасибо огромное! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить несобственный интеграл или установить расходимость

в форуме Интегральное исчисление

draconmag

6

339

25 янв 2018, 16:25

Вычислить несобственный интеграл или установить расходимость

в форуме Интегральное исчисление

draconmag

5

451

25 янв 2018, 15:49

Вычислить несобственный интеграл или доказать расходимость

в форуме Интегральное исчисление

Darina1999

1

282

04 дек 2017, 22:51

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

2

278

05 май 2017, 06:05

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

1

258

01 май 2017, 03:48

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

3

232

05 май 2017, 06:12

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

1

195

01 май 2017, 03:41

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

4

250

02 май 2017, 21:23

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

3

281

02 май 2017, 22:16

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

5

388

02 май 2017, 22:07


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved