Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| Wild angel |
|
||
|
а) [math]\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{ dx }{ x^{2} - 8x + 20 } dx[/math] б) [math]\int\limits_{1}^{e} \frac{ dx }{ x\sqrt{\ln{x} } }[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Alexdemath |
|
||
|
В первом сначала выделите полный квадрат в знаменателе. Должны получить [math](x-4)^2+4[/math].
[math]\begin{aligned}\int \frac{dx}{x^2-8x+20}&= \int \frac{dx}{(x-4)^2+4}= \frac{1}{4}\int \frac{dx}{{\left(\dfrac{x-4}{2}\right)\!}^2+1}=\\ &=\frac{1}{2}\int \frac{1}{{\left(\dfrac{x-4}{2}\right)\!}^2+1}\,d\!\left(\dfrac{x-4}{2}\right)= \frac{1}{2}\operatorname{arctg}\dfrac{x-4}{2}+C\end{aligned}[/math] [math]\begin{aligned}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^2-8x+20}&= \int\limits_{-\infty}^{0} \frac{dx}{x^2-8x+20}+ \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x^2-8x+20}=\\ &=\lim\limits_{a\to -\infty}\int\limits_{a}^{0} \frac{dx}{x^2-8x+20}+ \lim\limits_{b\to +\infty}\int\limits_{0}^{b} \frac{dx}{x^2-8x+20}=\\ &= \left.{\frac{1}{2}\lim\limits_{a\to -\infty}\operatorname{arctg}\dfrac{x-4}{2}}\right|_{a}^{0}+ \left.{\frac{1}{2}\lim\limits_{b\to +\infty}\operatorname{arctg}\dfrac{x-4}{2}}\right|_{0}^{b}=\\ &=\frac{1}{2}\lim\limits_{a\to -\infty}\! \left(\operatorname{arctg}\dfrac{0-4}{2}-\operatorname{arctg}\dfrac{a-4}{2}\right)+ \frac{1}{2}\lim\limits_{b\to +\infty}\! \left(\operatorname{arctg}\dfrac{b-4}{2}-\operatorname{arctg}\dfrac{0-4}{2}\right)=\\ &= \frac{1}{2}\! \left(\operatorname{arctg}(-2)-\frac{-\pi}{2}\right)+ \frac{1}{2}\! \left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}(-2)\right)= \frac{\pi}{2} \end{aligned}[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Wild angel |
|||
| Alexdemath |
|
||
|
Второй интеграл
[math]\begin{aligned}\int\limits_{1}^{e} \frac{ dx }{ x\sqrt{\ln{x} } }&= \lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{1+\varepsilon}^{e} (\ln x)^{-1\!\not{\phantom{|}}\,\, 2}\,d(\ln x)= \left.{2\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\sqrt{\ln x}\,}\right|_{1+\varepsilon}^{e}=\\ &=2\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \Bigl(\sqrt{\ln e}-\sqrt{\ln (1+\varepsilon )}\Bigr)= 2\Bigl(1-\sqrt{\ln1}\Bigr)= 2(1-0)=2\end{aligned}[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Wild angel |
|||
| Wild angel |
|
||
|
Alexdemath
Спасибо огромное! ![]() |
|||
| Вернуться к началу | |||
|
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |