| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Определенный интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=24098 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Wersel [ 10 май 2013, 20:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Определенный интеграл |
[math]\int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{6x-x^2} dx[/math] Решаю так: [math]\int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{6x-x^2} dx = \int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{9-(x-3)^2} dx[/math] Далее делаю замену [math]t=x-3[/math], получаю: [math]\int\limits_{-3}^{-1} (t+4)^2 \sqrt{9-t^2} dt[/math] Далее делаю замену [math]t=3\sin(s)[/math], получаю: [math]9 \cdot \int\limits_{-3\sin(3)}^{-3\sin(1)} (3\sin(s)+4)^2 \cos^2(s) ds[/math] Правильно ли я начал? Или можно было как-то рациональнее? И что делать дальше: раскрывать косинус как синус, и честно считать дальше, или можно как-то по-умному сделать? Заранее спасибо за помощь! |
|
| Автор: | pewpimkin [ 10 май 2013, 21:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определенный интеграл |
Я бы не делал уже тригонометрическую замену.Разложил бы квадрат и считал три интеграла, тем более два там почти табличные. На первый взгляд |
|
| Автор: | Wersel [ 10 май 2013, 21:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определенный интеграл |
pewpimkin Спасибо, хорошая идея, но все равно, как минимум в одном из трех интегралов придется вводить ту же тригонометрию. |
|
| Автор: | pewpimkin [ 10 май 2013, 21:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определенный интеграл |
Там, где икс квадрат? Можно по частям |
|
| Автор: | Wersel [ 10 май 2013, 23:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определенный интеграл |
pewpimkin Да, он. Но если его брать по частям, то [math]v = \int \sqrt{9-t^2} dt[/math] - а вот он берется без тригонометрии? |
|
| Автор: | pewpimkin [ 10 май 2013, 23:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определенный интеграл |
Берется, по частям. Завтра картинку прилеплю |
|
| Автор: | Wersel [ 11 май 2013, 03:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определенный интеграл |
pewpimkin Был бы признателен, так как у меня получилось только через тригонометрию. |
|
| Автор: | erjoma [ 11 май 2013, 06:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определенный интеграл |
[math]\begin{aligned} \int\limits_0^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}\sqrt {6x - {x^2}} dx} & = \int\limits_0^2 {\left( {{x^{\frac{5}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}} + 2{x^{\frac{3}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)} dx = \\[2pt] & = - \left. {\frac{{{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{5}{2}}}}}{4}} \right|_0^2 + \int\limits_0^2 {\left( {\frac{{23}}{4}{x^{\frac{3}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)dx} = \\[2pt] & = - 8\sqrt 2 - \frac{{23}}{4} \cdot \left. {\frac{{{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}}}{3}} \right|_0^2 + \frac{{73}}{4}\int\limits_0^2 {{x^{\frac{1}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}}dx} = \left( \begin{gathered} t = x - 3 \hfill \\ dt = dx \hfill \\ \end{gathered} \right) = \\[2pt] & = - \frac{{116}}{3}\sqrt 2 + \frac{{73}}{4}\int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\sqrt {9 - {t^2}} dt} = - \frac{{116}}{3}\sqrt 2 + \left. {\frac{{73}}{8}t\sqrt {9 - {t^2}} } \right|_{ - 3}^{ - 1} + \left. {\frac{{657}}{8}\arcsin \frac{t}{3}} \right|_{ - 3}^{ - 1} = \\[2pt] & = \frac{{657}}{{16}}\pi - \frac{{683}}{{12}}\sqrt 2 - \frac{{657}}{8}\arcsin \frac{1}{3} \end{aligned}[/math] P.S. [math]\begin{gathered} {J_{p,q}} = \int {{{\left( {a + bz} \right)}^p}{z^q}dz} \hfill \\ {J_{p,q}} = \frac{{{{\left( {a + bz} \right)}^{p + 1}}{z^q}}}{{b\left( {p + q + 1} \right)}} - \frac{{aq}}{{b\left( {p + q + 1} \right)}}{J_{p,q - 1}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]\beta>0 \,\colon \int {\sqrt {\alpha {x^2} + \beta } dx = \frac{1}{2}x\sqrt {\alpha {x^2} + \beta } + \frac{\beta }{2}} \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\alpha {x^2} + \beta } }}}[/math] Формулы из второго тома "Курса дифференциального и интегрального исчисления" Фихтенгольц Г.М. стр. 54 и 61. |
|
| Автор: | pewpimkin [ 11 май 2013, 12:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определенный интеграл |
У меня получилось так. В цифрах мог ошибиться ![]()
|
|
| Автор: | Wersel [ 11 май 2013, 16:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определенный интеграл |
erjoma pewpimkin Большое спасибо! |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|