Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Определенный интеграл
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 20:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{6x-x^2} dx[/math]

Решаю так:

[math]\int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{6x-x^2} dx = \int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{9-(x-3)^2} dx[/math]

Далее делаю замену [math]t=x-3[/math], получаю:

[math]\int\limits_{-3}^{-1} (t+4)^2 \sqrt{9-t^2} dt[/math]

Далее делаю замену [math]t=3\sin(s)[/math], получаю:

[math]9 \cdot \int\limits_{-3\sin(3)}^{-3\sin(1)} (3\sin(s)+4)^2 \cos^2(s) ds[/math]

Правильно ли я начал? Или можно было как-то рациональнее? И что делать дальше: раскрывать косинус как синус, и честно считать дальше, или можно как-то по-умному сделать?

Заранее спасибо за помощь!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 21:00 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7479
Cпасибо сказано: 526
Спасибо получено:
3644 раз в 2901 сообщениях
Очков репутации: 745

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я бы не делал уже тригонометрическую замену.Разложил бы квадрат и считал три интеграла, тем более два там почти табличные. На первый взгляд

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 21:36 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin
Спасибо, хорошая идея, но все равно, как минимум в одном из трех интегралов придется вводить ту же тригонометрию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 21:53 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7479
Cпасибо сказано: 526
Спасибо получено:
3644 раз в 2901 сообщениях
Очков репутации: 745

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Там, где икс квадрат? Можно по частям

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 23:28 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin
Да, он. Но если его брать по частям, то [math]v = \int \sqrt{9-t^2} dt[/math] - а вот он берется без тригонометрии?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл
СообщениеДобавлено: 10 май 2013, 23:32 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7479
Cпасибо сказано: 526
Спасибо получено:
3644 раз в 2901 сообщениях
Очков репутации: 745

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Берется, по частям. Завтра картинку прилеплю

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл
СообщениеДобавлено: 11 май 2013, 03:03 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin
Был бы признателен, так как у меня получилось только через тригонометрию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл
СообщениеДобавлено: 11 май 2013, 06:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{aligned} \int\limits_0^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}\sqrt {6x - {x^2}} dx} & = \int\limits_0^2 {\left( {{x^{\frac{5}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}} + 2{x^{\frac{3}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)} dx = \\[2pt] & = - \left. {\frac{{{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{5}{2}}}}}{4}} \right|_0^2 + \int\limits_0^2 {\left( {\frac{{23}}{4}{x^{\frac{3}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)dx} = \\[2pt] & = - 8\sqrt 2 - \frac{{23}}{4} \cdot \left. {\frac{{{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}}}{3}} \right|_0^2 + \frac{{73}}{4}\int\limits_0^2 {{x^{\frac{1}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}}dx} = \left( \begin{gathered} t = x - 3 \hfill \\ dt = dx \hfill \\ \end{gathered} \right) = \\[2pt] & = - \frac{{116}}{3}\sqrt 2 + \frac{{73}}{4}\int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\sqrt {9 - {t^2}} dt} = - \frac{{116}}{3}\sqrt 2 + \left. {\frac{{73}}{8}t\sqrt {9 - {t^2}} } \right|_{ - 3}^{ - 1} + \left. {\frac{{657}}{8}\arcsin \frac{t}{3}} \right|_{ - 3}^{ - 1} = \\[2pt] & = \frac{{657}}{{16}}\pi - \frac{{683}}{{12}}\sqrt 2 - \frac{{657}}{8}\arcsin \frac{1}{3} \end{aligned}[/math]

P.S.
[math]\begin{gathered} {J_{p,q}} = \int {{{\left( {a + bz} \right)}^p}{z^q}dz} \hfill \\ {J_{p,q}} = \frac{{{{\left( {a + bz} \right)}^{p + 1}}{z^q}}}{{b\left( {p + q + 1} \right)}} - \frac{{aq}}{{b\left( {p + q + 1} \right)}}{J_{p,q - 1}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
[math]\beta>0 \,\colon \int {\sqrt {\alpha {x^2} + \beta } dx = \frac{1}{2}x\sqrt {\alpha {x^2} + \beta } + \frac{\beta }{2}} \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\alpha {x^2} + \beta } }}}[/math]
Формулы из второго тома "Курса дифференциального и интегрального исчисления" Фихтенгольц Г.М. стр. 54 и 61.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Wersel
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл
СообщениеДобавлено: 11 май 2013, 12:08 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7479
Cпасибо сказано: 526
Спасибо получено:
3644 раз в 2901 сообщениях
Очков репутации: 745

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня получилось так. В цифрах мог ошибиться

Изображение

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Wersel
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл
СообщениеДобавлено: 11 май 2013, 16:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma
pewpimkin
Большое спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить определенный и не определенный интеграл

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Kikfas

1

443

05 май 2015, 16:57

Определенный интеграл и несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

VxVxN

11

1024

14 апр 2015, 20:58

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Sinner12

1

265

28 дек 2018, 15:20

Определённый интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Potolol

1

419

04 май 2015, 19:26

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

alla1501

2

410

29 апр 2016, 12:05

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Sinner12

1

239

27 дек 2018, 21:29

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

AleksandrKuz

2

305

10 янв 2016, 13:49

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Shamil

4

305

20 мар 2019, 18:26

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Vovan

8

347

18 янв 2016, 14:31

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Alatte

1

212

24 мар 2016, 22:05


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved