Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить определенный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=24026
Страница 1 из 1

Автор:  tanya281188 [ 07 май 2013, 23:32 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить определенный интеграл

вычислить определенный интеграл (x*sin(x^1/3))dx границы нижняя-0,верхняя -1. с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

Автор:  Timon41ra [ 08 май 2013, 08:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить определенный интеграл

Замени х^1/3 на z
далее разложи функцию sinz по Маклорену
в разложенную функцию вместо z подставляешь х^1/3
и позже домножишь ее на х

Автор:  Wersel [ 08 май 2013, 15:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить определенный интеграл

Получаете ряд: [math]x \cdot \sin(\sqrt[3]{x}) = x^{\frac{4}{3}} - \frac{x^2}{6} + \frac{x^{\frac{8}{3}}}{120} - \frac{x^{\frac{10}{3}}}{5040} + ...[/math]

Почленно его интегрируете и получаете, что [math]\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{\frac{10}{3}}}{5040} \approx 0.000046 < 0.001[/math], а интеграл от предыдущего члена больше точности, значит, для заданной точности необходимо просуммировать три члена ряда (а точнее интегралы от них), то есть:

[math]\int\limits_{0}^{1} x \cdot \sin(\sqrt[3]{x}) \approx \int\limits_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} - \int\limits_{0}^{1} \frac{x^2}{6} + \int\limits_{0}^{1} \frac{x^{\frac{8}{3}}}{120} \approx \frac{3}{7} - \frac{1}{18} + \frac{1}{440} \approx 0.3753[/math]

Автор:  Avgust [ 08 май 2013, 18:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить определенный интеграл

Но этот интеграл берется и равен:

[math]\int\limits_{0}^{1} x \cdot \sin(\sqrt[3]{x}) \, dx=15\, \left( 24-12\,{x}^{\frac 23}+{x}^{\frac 43} \right) \sin \left( \sqrt [3]{x} \right)-3\, \left( 120\,\sqrt [3]{x}-20 \, x+{x}^{\frac 53} \right) \cos \left( \sqrt [3]{x} \right) \bigg |_0^1[/math]

Если подставить пределы интегрирования, то получим [math]195 \sin(1)-303 \cos(1) \approx 0.375243359494[/math]

Точность: [math]\frac 37-\frac{1}{18}+\frac{1}{440}-[195 \sin(1)-303 \cos(1)]=0.0000452408 < 0.001[/math]

Замечательно справился с заданием Wersel! Получил результат в 22 раза точнее, чем рекомендовалось.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/